Логика и реальность

 Другое доказательство  S_n3

Всегда у меня существовала инстинктивная установка, что математика является средством получения знания. И в качестве средства она сама по себе никогда не была целью. И поэтому она выступает в качестве фона для целевой деятельности, чем-то в роде тренировки мозга. Ею занимаешься в качестве отдыха, развлечения, когда нет других мыслей, а математика ведь характеризуется бесконечностью материала, который всегда под рукой

    Задача. Найти сумму первых n кубов натурального ряда чисел.
   Строим таблицу:

    
   -В конечном счете, то бишь в последней строке таблицы, во всех случаях мы получаем постоянное число в разности соседних членов. Например, разность соседних членов натурального ряда равна единице, четных либо нечетных чисел - 2. На основании постоянной разности можно построить генератор, производящий соответствующую последовательность чисел.
   -Вопрос в том, как связать вот эту постоянную разность с переменными разностями предшествующих строк.
   -В свою очередь, эти переменные разности подчиняются определенным закономерностям
    -Вторая снизу таблицы строка даёт постоянную разность.
   -Третья снизу строка таблицы показывает, что разности соседних смежных членов различаются на единицу: 3-1=2, 6-3=3, 10-6=4, 15-10=5, 21-15=6.
   -Третья снизу строка таблицы показывает также, что каждый n-й член получается из предыдущего добавлением значения n: u_n=u_n-1+n (1) Отсюда в качестве следствия получаем u_n-1=u_n- n (3); u₃=6=u₂+n
   -Первый член ряда третьей снизу строки предшествующей строки равен единице, второй член =3. 3-1=2. 2 - это номер u₂=3. u₃=6=u₂+n; u₄=10=u₃+n; u₅=15=u₄+n; u₆=21=u₅+n
   -Значит, что мы определили? - мы определили формулу, согласно которой, если нам известен предшествующий член, то мы можем определить последующий.
    -И тогда, если нам дан какой-то член ряда и его номер, то мы можем рекурсивно определить все последующие и все предыдущие члены ряда.
   -В разности между соседними членами мы всюду получаем значение n уменьшаемого члена
   -Если нам дано n, то этим уже определяются однозначно соответствующие предыдущий и последующий члены потому, что только между ними имеет место эта разность, и больше ни между какими другими членами.
   -Следует заметить, что если дано n, то оно соответствует в разности уменьшаемому члену.
   -Если допустить, что здесь замешаны квадраты, а с квадратами не получается, то ведь их можно делить на что-то.
   -Но дело в том, что эта однозначность для n, о которой ты говорил в твоих попытках получения закона ряда, она не имеет места. 10-6=4, 40-36=4, 51-47=4 и т.д. и т.д., если n=4. Мы получили бесконечное множество вариантов. (тупиковая ветвь мысли).
   -Здесь вопрос накопления. Как вся эта хреновня накапливается.
   -Тройка образована из единицы и двойки, шестерка образована из единицы, двойки и тройки, десятка образована из единицы, двойки, тройки и четверки. 15 образовано из суммы 1+2+3+4+5, 21 = 1+2+3+4+5+6.
   -То есть n-й член ряда равен сумме n членов натурального ряда.
    -Формула суммы первых n членов натурального ряда S_n=(n²+n)/2 (4)
   -Значит, n-й член нашего ряда u_n= (n²+n)/2 (5)
   -И нам остается только возвести полученное выражение u_n в квадрат, и мы получаем  сумму кубов первых n членов натурального ряда: S_n=(n²+n)²/4=n⁴/4 + n³/2 + n²4 (6)ч.т.д.
   -Как видим, идея доказательства состояла в том, что доказательство велось не от ряда кубов чисел, и даже не от данных об их сумме, но рассматривался ряд, образованный суммой, и, так как он представлял собой квадраты n, то из квадратов был извлечен корень и получен ряд чисел, для которого оставалось найти формулу его n-oго члена u_n. Когда u_n был определен, для получения суммы кубов первых n членов натурального ряда оставалось  возвести u_nв квадрат: u_n²