Логика и реальность

Анатомия формулы

Когда есть какая-то формула, возникает вопрос, как она была получена. Можно, конечно, говорить о том, что её "угадали", однако это - небольшое утешение. Невольно возникает мысль о том, что должна же существовать какая-то общая закономерность, общий путь получения формул. Вот этим вопросом на частном примере и займемся.
   Пусть даны натуральный ряд чисел 1,2,3,...,n,... и формула суммы первых n членов натурального ряда: n(n+1)/2

   Что представляет собой n? - оно является суммой n единиц, и в этом смысле n=n*1.
   Что представляет собой выражение n(n+1)? Это сумма n+1 единиц, состоящая из n слагаемых: ∑_n(n+1)=n(n+1). В упорядоченном виде сумма может быть представлена в виде прямоугольника, образованного соответствующим множеством точек. Деление на 2 даёт нам половину точек.
   Подобный анализ не выявляет никакой закономерности, поскольку совершенно непонятно, почему эта формула должна быть верна для данного ряда. Мы можем, конечно, удовлетвориться, использовав метод математической индукции и показав, что действительно эта формула работает на всех n. Но нас интересует, как может быть получена сама формула.
   Обратим внимание на часть формулы n(n+1)=n²+n. Она означает, что S_n/2=S_n-1/2+u_n/2= n²/2+n/2. Мы видим, что формула состоит из двух частей, одна из которых представляет собой  сумму  предшествующих членов и вторая -  последнего члена. И при этом сумма предшествующих членов выражается в квадратуре. Но квадратура не срабатывает, и её компенсирует деление выражения на 2. Как, почему, откуда взялась эта двойка, непонятно. Но во всяком случае здесь просматривается идея квадратуры, то есть выражения суммы через произведение.  Обратимся к рис.2 и озаботимся следующим  построением. Допустим, n=6 Возьмём выделенные голубым правую часть и примыкающую к ней серую часть рисунка и будем считать число элементов слева направо. получим: (n=S, читается: значению n соответствует сумма S) 1=1, 2=3, 3=6, 4=10, 5=15, 6=21. Мы получили n слагаемых. Если бы эти слагаемые были одинаковы, мы могли бы умножить их на число n. В связи с этим возникает вопрос: А нельзя ли получить общую формулу, исходя из этого принципа замены сложения умножением? Мы можем взять n² Для n=6 получим 36. Теперь нам нужно из полученного числа  отнять число элементов, выкрашенных на рис. голубым цветом  слева и равное 15. Но число выделенных голубым элементов слева и справа от элементов из области серого одинаково, а число элементов в области серого равно n. Вместе "голубые" элементы образуют видимость половинок квадрата. Поэтому кажется, что чтобы получить сумму элементов S_n-1, нужно квадрат разделить на 2. Но это - квадрат, который имеет место только в сочетании с серым, из двух голубых квадрата не составишь. Т.о., каждый из них нужно брать вместе с серым. Но вместе с серым - это как раз искомая сумма. Т.о. мы получаем две искомые суммы, в которой элементы серого совмещаются, или, что то же, удваиваются. Но если  возьмём n², то мы получим множество членов без удвоения серого. Значит, к  n² должно быть добавлено серое, которое равно n. Т.о.  получаем  n²+n = 2S_n, откуда S_n=n(n+1)/2.  далее