Логика и реальность

Анатомия формулы S_n2

Пусть дан ряд 1,3,5,7,... Определить u_n  

n  1  2  3  4  5  6         un 1  3  5  7  9 11 un+1-un   2  2  2  2  2

Разность соседних членов постоянна. Примем её за множитель n т.о., чтобы формула выполнялась для n=1. Получаем: u_n=2n-1. Проверим выполнимость формулы для всех n. (1) u_n+1=2(n+1)-1=2n+1. (2) 2n-1+2=2n+1; (1)=(2) ч.т.д.
   Найдем формулу суммы первых n членов. Держим в голове метод статьи "Анатомия формулы. Получаем:

n =  1  2  3   4   5 Sn= 1  4  9 16 25

Число n определяет число сомножителей, n² - квадрат, и это же число соответствует сумме элементов. Отсюда S_n=n².

   
   В работах преследуются две цели: получение фактов и получение данных о том, как мысль приходит к фактам. Поэтому в работе фиксируется все движение мысли к получению фактов. Следует иметь ввиду, что ошибочные движения оказываются хотя и отрицательным, но средством обеспечения правильного движения мысли к поставленной цели. Настоящий текст включает в себя две ветви. Первая ветвь выглядит тупиковой, вторая решает проблему. Но тупиковая ветвь полезна в том отношении, что ею открываются новые стороны реальности и  ставятся новые вопросы.

   Доказать, что сумма квадратов натурального ряда равна n(n+1)(2n+1)/6. (1).
   1-я ветвь
   Так как мы имеем дело с квадратами, то можем уверенно говорить о том, что в формуле будет присутствовать третья степень, поскольку мы будем иметь дело с суммой квадратов.
    Если подходить к вопросу генетически, то есть с точки зрения последовательного построения процесса, то кажется, что в формуле должен иметь место переход к ряду, а затем к сумме его n первых членов.

n                1   2     3    4     5      6 n2                   1   4     9  16   25    36 Sn             1   5   14   30   55   91 Sn+1- Sn      4   9   16   25    36    An An+1-An           5   7    9     11 Bn+1-Bn+1       2    2     2

Разность между двумя суммами соседних квадратов равна есть квадрат, а разность между соседними квадратами (n+1)²-n²==2n+1. Т.о., u_n+1=u_n +(2n+1). (1) Но  u_n=u_n-1+(2n+1), (2). Из (1) и (2) получаем u_n+1=u_n-1+(2n+1) +(2n+1)=u_n-1+2(2n+1)

   В поисках смыслов Кажется, уже третий день смотрю на эту задачу, и чем дальше, тем тупее. Словно множество каких-то точек постепенно собираются в какую-то одну точку, в которой уже ничего нельзя различить. И тогда возникает мысль о противоположной операции - перехода от сплошной точки к множеству точек. И эту операцию я и назвал поиском смыслов. Когда просто ищешь смыслы, и хотя этот поиск имеет ввиду определенную цель, но имеется ввиду, что к цели нужно придти, а не начинать с неё. Вообще самый обычный трёп, цепляние к чему-то зачастую приводит к неожиданным результатам. Как заметил Достоевский, врёшь, врёшь, и, может быть, доврёшься до истины.

    С одной стороны, мне хочется привязаться к квадратуре, потому что здесь явно заключается общий принцип. С другой стороны, формула (1) сразу разбилась на две части: n(n+1)(2n+1)/6 = (n(n+1)/2)[=(1.1)]((2n+1)/3)[(=1.2)]. Формула (1.1) представляет собой сумму первых n чисел натурального ряда, формула (1.2) позволяет определить следующий член квадрата n натурального ряда, если известен квадрат предыдущего n. И дальше возникает тупик, дальше ничего не просматривается. Непонятно, почему выражение (1.2), взятое число раз, соответствующее формуле (1.1) даёт искомый результат. Во всяком случае, формулу (1.2) можно рассматривать в качестве сомножителя, то есть в качестве целого.  Мы, конечно, можем провести опыт, чем математика и хорошо, что в ней, не отходя от стола, можно проводить опыты. Но сама по себе подстановка чисел в формулу ничего не дает кроме того, что мы убеждаемся в работе формулы для данных частных значений. Так что этот способ нас отсылает назад, поскольку нам известно, что формула работает на всех n. Запишем т.о. формулу (1) = (n/6)((2n+1)(n+1)) Все три сомножителя могут рассматриваться как переменные контейнеры. Произведение последних двух сомножителей, в свою очередь может рассматриваться как контейнер, в котором в качестве контейнера берется один из сомножителей, а второй сомножитель рассматривается как определяющий число контейнеров в производном контейнере. Здесь всё понятно. Наконец, числитель первого сомножителя берет количество производных контейнеров. Также и в этом случае мы легко представляет пространственную организацию множества объектов. Но теперь мы должны разделить всё это на 6. Как вы прикажете делить объекты, заключенные в контейнеры? Это значит, что существующий контейнерный порядок нужно разрушить, но если мы это сделаем, то получим хаос, то есть должны будем всё начать сначала.

  Преобразуем формулу (1) в вид:n³/3+n²/2+n/6 Мы имеем кубический контейнер, квадратный и линейный, причем, каждый из контейнеров делится на какое-то множество чисел. Кажется, чего проще? Но нас интересует вопрос не о том, что нечто имеет место, а почему оно имеет место (как в фильме "я понимаю, что параллельно проведенные линии никогда не пересекаются, но я не понимаю, почему они не пересекаются")
   А вот теперь обратим внимание на то, что ведь и в кубическом, и в квадратном, и в линейном контейнерах мы имеем дело с одними и теми же n. Ведь в каждой из формул присутствуют n, которые, очевидно, между собой не различаются. Что же мы имеем? В линейном контейнере мы множество элементов n берем только их часть. Мы уже видели в формуле (1.1) совмещение элементов в квадратуре, и там нам стало ясно, откуда появилось деление на 2. Поэтому мы вправе предположить, что деление на шесть имеет ввиду, что в шести линейных контейнерах появляются одни и те же элементы. В кубических и квадратных контейнерах мы замечаем, что делители в них соответствуют степени. С другой стороны, мы помним, что в квадратном контейнере присутствуют общие элементы. В конечном счете общий принцип состоит в том, что мы получаем дополняющие друг друга противоположности, при которых одно и то же появляется в разных формах т.о., что противные стороны оказываются дополняющими друга друга, и одна сторона отрицает другую, но в то же самое время и тождественна ей.
   Рассмотрим еще раз квадратуру (квадратный контейнер). Что он собой представляет? Нам дано натуральное число n. Оно может быть представлено как множество объектов: первый, второй, третий, n-й. Это - реальные объекты. Но мы имеем дело с рядом квадратов натуральных чисел, и, следовательно, этот ряд должен рассматриваться как реальный, как данный, хотя он и производится посредством n. Другими словами, для всякого порядкового значения n от единицы до n мы получаем множество данных существующих контейнеров, однако для всякого порядкового значения n мы получаем разные величины контейнеров, то есть контейнеры содержат разные количества этих объектов: для n=1 n²=1, для n=2 n²=4 и т.д. и каждый из этих контейнеров представляет собой целостность, то есть вещи, которые не делятся. Это - не разложимые далее единицы, они должны рассматриваться как целое.
   Но если мы эти вещи рассматриваем как целое, то разве не должны мы применить к ним всё тот же принцип рассмотрения квадратуры? То есть разве мы не должны в качестве элемента рассматривать контейнер?

   Выражение вида n² даёт квадрат, главная диагональ которого проходит по элементам, число которых равно n, при этом число элементов на сторонах квадрата и диагоналях одинаково. Если мы берем выражение вида n(n+a)=n²+an, то получаем прямоугольник, у которого во всяком случае не все элементы лежат на его диагоналях. Это выражение преобразуется в выражение  c квадратным и линейным контейнерами, причем, а выступает в качестве коэффициента при линейном контейнере, определяя тем самым число контейнеров, содержащих n элементов.

   Рассмотрим выражение: n³⁼nn²=n(2n+3) Это уравнение выполняется для n=3, причем, первые два члена выполняются  для всех n. Это ставит перед нами вопрос о соотношении общего и частного. И мы можем предположить в связи с этим, что оперирование с объектами типа прямоугольников для перехода к общим формам нужно выразить прямоугольную квадратуру в квадратной, как это было сделано в первой статье по анатомии формул.

   Особенность настоящей задачи заключается в том, что мы имеем с производными объектами (n²⁾. Это заставляет нас предположить, что мы должны будем иметь дело с кубическим контейнером. И, далее, в этой формуле должна существовать последовательность создания результирующего общего контейнера.

   Анатомия формул с арифметической точки зрения. Пусть n. Тогда сумма S_n<n² Причем, данной сумме будет противостоять противоположная сумма, а также общие для двух сумм члены.

   Чем отличается сумма натурального ряда от суммы его квадратов?

n        1   2   3      4 Sn      1  3    6    10 S(n)кв 1  5  14    30

S_n + S_(n)кв + S_n+1=S_(n+1)кв

   Вторая ветвь
   Обратимся к форме n³/a + n²/b+n¹/c (см.файл list26). Эту формулу можно обобщить на любую целую степень при n, связывая её с глубиной разностей. Для рассматриваемого нами случая мы имеем n³/3 + n²/2+n¹/6=(2n³ + 3n²+n¹)/6 (3)
   Рассмотрим первый член левой части уравнения. В числителе мы имеем кубический контейнер, включающий в себя n квадратных контейнеров. Например, если n=3, то n³=27 элементам, которые организованы в три квадратных контейнера по 9 элементов в каждом. Из этих трех контейнеров выбирается один, но полностью заполненный.
   Второй член представляет собой квадратный контейнер, заполненный тремя линейными. Этот контейнер делится на два. Но число входящих в него линейных контейнеров не делится на 2. Это говорит о том, что в квадратуре присутствуют общие для двух противоположных сторон члены , то есть мы имеем "одного слугу двух господ", пересечение противоположностей. Поэтому для сохранения квадратуры мы должны рассматривать один элемент как принадлежащий двум противоположным множествам, то есть мы должны добавить линейный контейнер. В линейном контейнере у нас содержится три элемента. Мы делим его на 6, и получаем половину элемента.
   Теперь обратим внимание на следующие обстоятельства. Мы начинали с кубического контейнера. Сумма первых n=3 членов кубического контейнера равна 14. Куб 3 равен 27. Мы взяли один кубический контейнер, равный 9. Теперь нам нужно взять  контейнеры, которые дополняли бы 9 до четырнадцати, то есть содержали бы 5 элементов. Но у нас все контейнеры содержат по три элемента. Значит, если мы возьмём квадратный контейнер, то он будет содержать три линейных контейнера по три элемента. Мы можем разделить контейнер на три, перейдя к заполненному линейному, и получим еще три элемента. Нам не хватает два элемента, а идти нам дальше некуда, поскольку мы имеем дело с контейнерами, а не с элементами, и мы не можем написать недостающие n-1, поскольку это удовлетворит только частный случай для трех. Поэтому мы возвращаемся к квадратному контейнеру и делим его на два. В результате этого мы получаем "два землекопа и две трети". Т.о. мы получили 1 полностью заполненный линейный контейнер и часть контейнера, которая характеризуется тем, что она должна содержать два целых элемента, но мы делим контейнер на целое число, а 3/2=1,5. Полтора элемента. А нам нужно два. Там, где мы получаем часть элемента, там в реальности мы имеем дело с пересечением элементов противоположности, то есть с общими элементами противоположностей. Противоположности - это как бы два разные соответствующие друг другу мира, в которых стороны одной и той же сущности выступают в качестве видимости самостоятельных объектов. В этом смысле, половинки объекта не существует. Существует объект. И поэтому мы добавляем недостающую половинку именно потому, что мы имеем дело с двуликим Янусом. Мы берем линейный контейнер n, равный трём, и делим его на шесть.

   Проведем это же рассуждение для n=4, S₄= 30. Если возьмём квадратный контейнер, то получим 16<30. Но брать мы можем контейнер, который равен или больше суммы n. Значит, начинаем с кубического контейнера n³=64.  Если мы имеем дело с общей формулой, то должны 64 разделить на три. Получим 21 и  1/3. что означает число 21,3? Как его можно выразить в контейнерной форме? Во-первых, кубический контейнер состоит из четырех квадратных контейнеров, в каждом из которых содержится по 16 элементов. 5(1/3) элементов - это такая часть квадратного контейнера, в линейном контейнере  которого недостаёт 2/3. Поэтому  берем n/6=4/6=2/3  и получаем 22. Затем n²/2=4²/2=8.

   23.10.09 г.