Логика и реальность

Анатомия формулы S_n3

Найти сумму первых n кубов натурального ряда чисел.
   В форме n³/3 + n²/2+n¹/6 мы наблюдаем следующие особенности: в первом и во втором слагаемых выражения числа в степени и в знаменателе равны. В третьем слагаемом знаменатель равен произведению степеней n. Поэтому мы можем предположить, что для суммы кубических степеней элементов натурального ряда будет справедливо выражение S_n3=n⁴/4 + n³/3 + n²/2+n¹/24  (1), как вообще верна формула S_nk=n^k-1/(k-1) +n^k-2/(k-2) +  n³/3 + n²/2+n¹/((k-1)(k-2)...3*2*1)  (2). Однако проверка формулы (1), не говоря уже о формуле 2, показывает, что сделанное обобщение не работает. Поэтому обратимся к более общей форме S_n3=n⁴/a + n³/b + n²/c+n¹/d и посмотрим, работает ли она для кубов натурального ряда.

   Строим таблицу:

n     1  2    3      4         5      6 n3   1  8   27    64    125   216 Sn3 1  9   36  100    225   441 √    1  3    6     10     15      21 -       2   3    4        5       6

Исходим из  алгоритма, примененного в предыдущей главе. Тетраконтейнер n⁴ = 256. S_n3=100. В тетраконтейнер входят 4 кубических контейнера, в каждом из которых находится 4 квадратных контейнера, содержащих по 4 линейных контейнера по 4 элемента в каждом. Т.о. в одном квадратном контейнере находится 16 элементов, в одном кубическом контейнере находится 64 элемента. Т.о., мы можем разделить 216 элементов на четыре и получим один полный кубический контейнер и нам останется определиться с 36 элементами.   Кубический контейнер содержит 64 элемента:  4 квадратных контейнера по 16 элементов в каждом. Делим  кубический контейнер на 2 и получаем  два полный квадратных контейнера. Берем квадратный контейнер. Он состоит из четырех линейных контейнеров по 4.  Все элементы исчерпаны. Получили: S_n3=n⁴/4 + n³/2 + n²/4 (3)
   Докажем методом математической индукции правильность формулы (3).
   Для n+1 члена из (3) получаем:
(4)=(5), ч.т.д.

Найти сумму первых n элементов четвертой степени натурального ряда.
   Применим два рассуждения методом контейнеров, одно рассуждение неправильное и другое правильное с тем, чтобы прояснить, что можно делать в правиле контейнеров, и чего нельзя.
   Первое рассуждение.
   Первый способ рассуждения заключается в том, чтобы делить контейнер на максимальные части, переходя к целым частным от деления.
   Второе рассуждение
   Второй способ рассуждения заключается в том, чтобы брать максимально возможные части контейнера, невзирая на появляющиеся части элементов.

   При рассмотрении квадратных контейнеров вопрос о противоположностях и о "серых элементах" представляется ясным. Но что происходит с противоположностями при переходе к кубу? Как в этом случае распределяются противоположности? что возникает в этом случае - удвоение, утроение? что?
   Возвратимся к рассмотрению выражений с квадратным контейнером и к рис.1:

   Что такое голубое? - это сумма предшествующих членов. Что такое серое - это число элементов последующего члена. n² - это удвоенная сумма предыдущих членов плюс один последующий член. Следовательно, если мы добавим последующий член, то получим две удвоенных суммы и, т.о. (n² + n)/2 даёт нам сумму.
   Сравним выражения n²   (1) и n²+ n (2)=n(n+1)(3).
   Пусть n=3, тогда n²=9; (n+1)(n+1)=4*4=16. Но n(n+1)=3*4=12. Разность 16-9=7=3+4. Т.о. (3) представляет собой прямоугольник, который образован линейными контейнерами: три контейнера по 4 элемента либо 4 контейнера по три элемента. Если берем квадратный контейнер 4 по 3, то получаем n² = 3²+3, если берем 3 по 4, то получаем 4² - 4. Количество элементов одинаковое, но смысл их получения противоположный.  n²+n=(n+1)² - (n+1)
   Самая первая мысль, которая приходит, это преобразование прямоугольников в квадраты. Посмотрим, как это можно сделать и какие новые понятия в результате этого получаются.
   В треугольнике на рис. 1 слева направо мы имеем столбцы, содержащие элементы натурального ряда. В качестве таких элементов могут выступать элементы каких угодно рядов, например, квадратов натурального ряда. Для всякого фиксированного n мы можем получить соответствующий треугольник, содержащий сумму элементов. Если мы удвоим эту сумму, то квадрата  не получим, нам придется добавлять к этой сумме число до ближайшего квадрата. Так, . 2S_n=5 =2*15=30 - это не целочисленный квадрат. Мы можем добавить 6 элементов, и тогда получим число 36 и можем всё это дело представить в виде квадрата. Т.о., чтобы получить сумму первых n членов натурального ряда нам нужно взять квадрат (n +1), вычесть из полученного результата (n+1) и разделить полученный результат на 2. Например, пусть n=8. Тогда 81-9=72/2=36. Т.о. S_n=((n+1)² - (n+1))/2 (4)=n(n+1)/2 (5) Формула (4) проявляет смысл того, что выражает формула (5)