на главную страницу
визитка
темы

 026.11.1742 Кинематика

1. Способы задания движения точки.

   Литература

   [1]. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики
   
   

   1. Естественный способ задания движения.

   Непрерывная линия, которую описывает движущаяся точка относительно данной системы отсчёта, называется тректорией точки.   Если траекторией является прямая линия, то движение называется прямолинейным, кривая - криволинейным.
   
      Выберем на траектории какую-н. точку О, которую примем за начало отсчёта, а саму траекторию будем рассматривать как криволинейную координатную ось; установим на ней положительное и отрицательное направление, как на обычной координатной оси. Тогда положение точки будет однозначно определяться криволинейной координатой s, которая равна  расстоянию от ноля до положения точки s на координатной оси. Т.о. вся координатная ось будет "оцифрована", и если мы представим движущуюся по ней точку М, то всякое её положение на координатной оси будет определено. Для пространственного представления положений точки М в любой момент времени t следует знать зависимость s=f(t)   (1), которая выражает закон движения точки М вдоль траектории. Естественно,  что как таких движущихся точек, так и законов их движения может быть бесконечное множество, при этом следует иметь ввиду, что сама траектория движения рассматривается как известная или заданная, и тогда возможна постановка вопроса о флуктуациях, отклонениях точки от траектории и об схемах удержания или возвращения точки на траекторию, а также о возмущающих факторах, вызывающих отклонения точки от траектории.
   
      Если расстояние, к примеру, от начала движения точки расстояние  растёт пропорционально квадрату времени, то закон движения точки будет s = at², где а - коэффициент, численно равный расстоянию, проходимому точкой за первую секунду. Что означает эта первая секунда? первая секунда, неважно, в какой степени, равна единице, и, следовательно, единица представляет собой число определенного рода, как в данном случае и размер а, который соотносит единицу времени и единицу соответствующего ему расстояния, что и позволяет делать качественный скачок, переход, и в то же самое время увязывать между собой противоположности. Ведь получается, что благодаря а мы на место единицы времени подставляем единицу расстояния, приведенную к единице времени (ведь а - это какое то число, представляющее множество единиц расстояния, но которое по своей сути представляет собой новую единицу расстояния, приведенную к единице времени), и затем, рассматривая множество единиц времени, мы на место их подставляем равное количество единиц (отрезков) расстояния. Мы,  как бы говоря об одном, о квадратах времени, делаем другое - выстраиваем пройденный путь в течение какого-то времени. Т.о., посредством а мы формируем производные единицы расстояния относительно времени, что и выражается в отношении количества единиц расстояния именно к единице времени.
   
      Второй момент, на который следует обратить внимание, состоит в том, что s - это положение точки на координатной оси, а не пройденный ею путь, поскольку точка может двигаться в двух противоположных направлениях, и если она прошла какое-то расстояние в положительном направлении, а затем в отрицательном, то точка s указывает на положение движущейся точки М относительно начала координат, и, т.о., если в положительном направлении точка М прошла 5 км, а затем в отрицательном - 6, то s=-1км, тогда как путь, пройденный точкой, равен 11 км.

    

   2. Координатный способ задания движения

   В случае прямолинейного движения (под последним понимается прямолинейное однонаправленное движение; действительно, можно ли назвать прямолинейным движение, которое включает в себя два противоположные направления) s=x закон прямолинейного движения точки будет х = f(t), где х - расстояние от начала координат до положения движущейся точки на оси координат.
   
       Положение точки по отношению к данной системе отсчёта Оxyz можно определить на основании её проекций на соответствующие оси координат. Т.о., получаем три уравнения, описывающие движение точки в декартовой системе прямоугольных координат х=f₁(t), y=f₂(t), z=f₃(t)  (1)  
      Если движение совершается в одной плоскости, то траектория движения точки описывается, соответственно, двумя уравнениями, включающими в себя названия координатных осей, образующих плоскость. Наконец, если движение является прямолинейным и совпадает с направлением одной из координатных осей, то движение будет описано одним уравнением.
   
       Наше пространственное мышление не допускает понимания пространства с более чем тремя осями прямолинейных декартовых координат. Однако уже в наборе уравнений (1) присутствует  еще одна координата - t, и это невольно приводит нас к идее n-мерного пространства, где n>3, ведь ничто не может запретить нам извлекать квадраты из какого угодно числа координатных осей и переходить к естественному представлению движения. (см. ниже) Вопрос в таком случае упирается в формирование единиц измерения разного уровня, который носил бы сам по себе бесконечный характер.
   
      Пусть есть система координат 0xyz. Если дана пространственная функция, то имеет свои проекции на плоскости 0ху, 0хz, 0уz. Возникает обратный вопрос: если мы зададим произвольно функции, принадлежащие координатным плоскостям, то можно ли утверждать, что в результате они будут представлять "пространственную" функцию?
      Выражение (1) представляет собой параметрическое задание функции.
      Пусть нам даны такие зависимости: x=4t, y=2t, z=3t → t=x/4, t=y/2, t=z/3 → x/4=y/2=z/4 → 3x=6y=4z. Получаем следующие зависимости переменных относительно плоскостей:
   1. 3x=6y → y=0,5x;  (1)
   2. 3x=4z→ х=3/4z;   (2)
   3. 4z=6y → z=3/2y;  (3)
      Из (1), (2), получаем: z=3/4x
      Пусть есть система координат 0xyz. Если дана пространственная функция, то она имеет свои проекции на плоскости 0ху, 0хz, 0уz. Возникает обратный вопрос: если мы зададим произвольно функции, принадлежащие координатным плоскостям, то можно ли утверждать, что в результате они будут представлять "пространственную" функцию? Например, если у=2х, z=3у, z=4х. Тогда z=3у=3*2х=6х. Значит, функции двух координатных плоскостей определяют функцию третьей координатной плоскости.

   3. Векторный способ задания движения

   "Пусть точка М движется по отношению к некоторой системе отсчёта Оxyz. Положение этой точки в любой момент времени можно определить, задав вектор r, проведенный из начала координат О в точку М. Вектор r называется радиус-вектором точки М.
      При движении точки М вектор r будет с течением времени изменяться и по модулю, и по направлению. Следовательно, является переменным вектором (вектором-функцией), зависящим от аргумента t:  r=r(t)" "Голограф этого вектора определяет траекторию движущейся точки"
      "Связь между координатным и векторным способами осуществляется на основе ввода единичных векторов (ортов) осей i, j, k, направленных, соответственно вдоль осей х, у, z. Тогда, учитывая, что проекции вектора r на оси 0х, 0у,0z  равны координатам точки М, т.е. r_x=x, r_y=y, r_z=z, получим r=xi+yj+zk. На какой важный вопрос отвечает, или, лучше сказать, указывает на отсутствие ответа, приведенная выше схема: она отвечает на вопрос, который возникает сразу же, как только ставится вопрос об определении угла радиус вектора. Мы знаем, что такое угол на плоскости, но мы не знаем, что такое угол, определенный в пространстве: к его определению приходят опосредованно, через понятия угла на плоскости. То есть угол определяется не непосредственно, а опосредованно, через его проекции на плоскости. Мы столкнулись с явлением того же порядка, которое положено в  в основу статьи "единицы"
   
   
       Пусть дана система координат 0хуz. Представим себе, что плоскость у_х содержит в себе вектор r, и двойник этой плоскости P=у_х начинает вращаться вокруг координатной оси у, порождая угол а c плоскостью у_х В то же самое время. В то же самое время, проекция вектора r на плоскость хz даёт угол b. Т.о., следует полагать, что в 3-мерном пространстве радиус вектор отражается двумя углами, соответственно, в n-мерном пространстве он должен отражаться n-1 углом?