на главную страницу

L30a  Взаимоотражение бинарных операторов логики высказываний, общих и частных высказываний и  отношений множеств

140911
назад

    Мы не занимаемся математикой как таковой, то есть мы не занимается построением  теорий, в которых делаются выводы из множества положений, которые принимаются в качестве истинных, и при этом совершенно неважно, как они относятся к реальности. Нашим объектом является чувственная реальность. Другими словами, мы занимаемся чувственными объектами, и в целом в нашу задачу входит переход от внечувственных объектов к чувственным.
    Человек имеет дело с двумя вещами: с такой внечувственной вещью, как язык, и с такой чувственной вещью, как отражаемая в чувствах реальность. Человек сравнивает то, что он высказывает, с тем, что он находит в реальности, и в его задачу входит установление соответствия между тем, что он высказал, и реальностью, поскольку, если этого соответствия нет, то высказывание невозможно приложить к реальности, а реальность остается невысказанной. В этом смысле человеческая познавательная деятельность заключается в построении высказываний, которые соответствуют чувственной реальности, и это является единственным способом целесообразного сознательного преобразования как отражения реальности в голове человека, так и отражения этого отражения в реальность.
    Если мы возьмём математику и, конкретно, теорию множество, то в ней мы всюду сталкиваемся с тем, что есть у человека в чувстве, и тем, как он описывает то, что у него есть в чувстве, в языке. Т.о. им устанавливается связь между словами и их конструкциями, с одной стороны, и теми чувственными данными, которыми он обладает, с другой. Этим обеспечивается возможность перехода от речи к его (человека) чувственной реальности, которая ею обозначается.
    Итак, мы должны иметь дело с этим параллелизмом: речью и её значением, где под значением речи понимаются чувственные объекты. Сами по себе чувственные объекты, с которыми имеет дело человек, есть отражение в нём существующей вне него объективной реальности, с которой он находится в практических отношениях. Само по себе это отражение может быть адекватным и неадекватным, но оно проверяемо практикой человеческой деятельности.
    Мы займемся с вами вполне наивными вещами, целью которых является формирование  навыков действий с соответствующими объектами.
    

    Ссылаться мы будем не на аксиомы, а на то, что есть у нас в чувстве, на то, что нами может быть проверено в чувстве. Мы будем обращаться к тому, что существует непосредственно в чувстве и на представления, "представляющие" чувства.
    Мы начинаем с понятия объекта. Объект - это то, что обладает замкнутыми границами, при этом сами границы могут быть четкими или размытыми. В сознании объекты, как и их свойства и действия с ними, представлены в виде знаков, которые указывают на объекты. Эти знаки, вообще говоря, могут быть какими угодно, в том числе природными явлениями. Но всюду, где сознание выступает не в качестве придатка к чувственной практике, а в качестве автономной, относительно независимой системы, в качестве знаков выступают знаки, которые производит (придумывает) человек самостоятельно и которые представляют собой знаки в чистом виде, то есть, с одной стороны, вещи воспринимаемые, а, с другой стороны, сами по себе не имеющие никакого значения. Такими знаками является всё то, что человек способен нарисовать, написать на бумаге и т.п. Само по себе отношение между знаком и его значением произвольно, но, поскольку между знаком и обозначаемым им отражением чувственной реальности установлено соответствие,  эта связь фиксируется, то есть формируется такой рефлекс, что при восприятии человеком знака у него возникает чувственный образ его значения (обозначаемого им), а при восприятии значения - возникает образ знака. Т.о. благодаря рефлексу возникает круговая замкнутая связь между знаком и его значением.
    Поэтому мы можем взять произвольный объект, то есть всё то, что обладает замкнутыми границами, и тем самым мы с самого начала получим  обобщение, и  можем в сознании представить его мысленно в виде точки, а точку обозначить каким-то речевым знаком - буквой, словом.
    Следует отметить специально, что когда мы действуем  практически, мы действуем с каким-то единичным, конкретным объектом.  Но нужно иметь ввиду, что объекты нам непосредственно не даны. Мы должны иметь возможность воспринимать их, а для их восприятия мы должны их отразить, то есть получить их субъективный образ, на основе которого нами и выделяется объект. Но объекты выделяются на основе воспринимаемых признаков - формы, цвета, твердости, запаха, вкуса и т.д. Особенностью рефлекторных механизмов является то, что, с одной стороны, первоначально объект выделяется на основе самых общих своих  признаков, и лишь по мере чувственно-практического знакомства с ним его образ в нас "обрастает" конкретикой его признаков, а также их количественных характеристик. Поэтому в действительности, объективно мы имеем дело с теми объектами, признаки которых отождествлены нами с образом объекта, который в нас сформировался, и поэтому естественно,  что нами могут отождествляться  самые различные объекты, если они характеризуются общими признаками, которые имеет образ объекта, с которым, как мы полагаем, имеем дело.  Естественно, что здесь же присутствует и другая сторона: объекты, признаки которых нами признаны тождественными, взаимозаменимы. Для практики совершенно безразлично, с каким конкретным  объектом мы имеем дело, поскольку объект определяется своими признаками и свойствами, где под признаками понимаем те, на основании которых объект различается от других объектов, а под свойствами -  способности объекта так или иначе воздействовать на другие объекты и воспринимать  воздействия других объектов на себя.
    Понятия признака и свойства - это две стороны одного и того, что следует из их определения, и термины, их представляющие, различаются между собой в той мере, в какой функциональные их значения противопоставляются друг другу, то есть во всех тех случаях, когда специально говорится об одной их сторон объекта в её противопоставлении другой. Во всех остальных случаях эти термины тождественны, поскольку их значением является один и тот же объект, и поэтому они могут употребляться в качестве синонимов.
    Тем не менее, не следует упускать из вида и такую возможность, когда между признаками и свойствами объекта нами не установлено одно-однзначное соответствие, и тогда как один и тот же набор признаков может указывать на объекты с различными свойствами, так и  объекты с одинаковыми свойствами могут характеризоваться для нас различными признаками.
    Объекты обладают множеством свойств. И объекты могут, в свою очередь, объединяться в множества объектов, обладающих одинаковыми свойствами.
    Мы говорили об объектах. Но, говоря об объектах, мы тем самым неявно полагали, что они представляют собой множество. В математике этим определением понятия множества ограничиваются. В грамматике  единственное число - это объект, хотя он может и представлять, в свою очередь, совокупность объектов,  множественное число - это множество объектов. Например, окно применительно к чувственным данным, это - объект (хотя, разумеется,"окно" как понятие - это уже идея, это - всеобщее, которое обладает своими специфическими определениями), окна - это, естественно, множество. На практике всегда, когда мы имеем дело с множеством объектов, у нас (в нас) должен существовать критерий, на основании которого мы могли бы осуществлять фильтрацию объектов относительно этого критерия. А это  значит, что множество определяется определяющим его свойством (признаком) или набором таковых. В этом плане множество может быть обозначено непосредственно свойством(-ами), которым(-и оно определяется).

    Допустим, мы имеем систему искусственно созданных знаков. Система знаков существует как параллельный объект, то есть как объект, который существует одновременно во всех своих точках. Но ведь это - объект, который строился, а строился он последовательно. И, точно также, когда мы мысленно или реально действуем с объектом, мы действуем с ним последовательно, что может быть отражено  посредством  произносимой речи, которая принципиально является последовательностью. Объект есть такая чувственная реальность, которая существует параллельно во всех своих частях. В действиях с объектом и в речи, отражающей порядок действий, мы переходим от одних чувственных частей объекта к другим. Точно также,  если мы имеем дело с текстом, который является, конечно, объектом, представляющим собой систему параллельно существующих знаков,  читается текст также последовательно. Объект - это объективная реальность,  данная нам в чувстве, или в нашем воображении, или как либо иначе, параллельно. В речи мы относимся к тому, что дано нам в чувстве, как к объекту. Посредством  речи мы,  осуществляя  чувственными частями объекта последовательные  действия,  объективируемся по отношению к объекту или, что то же, объективируем чувственный объект по отношению к нам. А объективацией обеспечивается внечувственное, внерефлекторное отношение к объекту, то есть объект перестает вызывать в нас чувственные реакции, что является необходимым условием познавательного отношения к объекту.
    Параллелизм чувственного отражения и и последовательный характер речи являются условием для разложения параллельно существующего, целого на части и обратного соединения частей в целое: мы говорим, что А есть В, С, Д, и обратно, мы говорим, что В,С,Д есть А.

 

    В тексте предполагается, что читатель имеет некоторое, хотя бы смутное представление о логике высказываний и, возможно, еще более смутное и неопределенное представление о логике предикатов. Другими словами, он обладает какой-то минимальной математическокой культурой, то есть способен сложить 2+2 и получить правильный ответ, равный четырем. Всё остальное у читателя с обычным здоровым рассудком уже существует в его собственном чувстве (инстинктивном опыте) , в котором он и найдет ответы на возникающие у него вопросы. 
      Для ориентировки в логических операторах прилагается  их таблица с их расшифровкой в обыденном языке и названиями в логике.
&    В таблице А, В - бинарные переменные, определенные на области значений и,л, где "и"обычно  интерпретируется как "истина", "л" - как ложь. В строках под номерами 1, 2, 3, 4 заданы возможные наборы истинностных значений переменных А, В..
    Столбцы, занумерованные цифрами 1-16, представляют каждый один из возможных операторов: как число возможных наборов истинностных значений для А и В равно 22 в соответствии с правилом: число возможных наборов значений переменной  N равно числу значений m, которые принимают переменные, в степени, равной числу переменных n:  N=mn, так число возможных логических операторов равно числу наборов истинностных значений переменных А, В, на которых они определены, а это -не что иное, как число возможных наборов 1-4 истинностных значений переменных А и В,, то есть число таких наборов равно 4,  а так как все операторы представляют собой функцию от двух аргументов, то получаем число операторов   равным 422 = 16.
   В пятой строке даны некоторые из применяемых символических обозначений операторов. Наряду с приведенными применяются и другие, так, для  дизъюнкции, наряду с обозначением ˅, употребляется знак +, для конъюнкции -знак ˄, для импликации - V, для обратной импликации -T, для эквивалентности -~
 Оператор отрицания обозначается  в тексте знаком тире "-" или "┐"  Отрицание изменяет значение истинностных значений переменных или оператора на противоположные: -(А)=(-А) Отрицание оператора влечет преобразование принимаемых им истинностных значений на противоположные, что можно проследить по названиям операторов и их отрицаний. Отметим также, что отрицание конъюнкции обозначают "штрихом" Шеффера, а отрицание дизъюнкции - стрелкой Пирса. 
    Упомянем, раз уж речь зашла об обозначениях, что квантор общности в тексте обозначается значком "˄", существования - "˅"
    Для того, чтобы меньше путаться со скобками, введем правило приоритета операторов в виде (&, ┐→, ┐←, ↑), ˅,(←, →),↓,≡, которое читается слева направо; знаки в скобках обладают одинаковым приоритетом, всякий предыдущий (слева направо) знак имеет высший приоритет по отношению к предыдущему, где под высшим приоритетом понимается знак, связывающий выражения более тесно, то есть предполагает внутренние скобки по отношению к последующим, или, иначе, операция, обозначенная им, выполняется раньше.
    Ⱶ метазнак, читается "следовательно", "откуда следует".

   Наконец, введем знаки для обозначения отношений между множествами. "ϵ"  в выражении хϵА читается  "х является элементом множества A", "T"обозначает включение множества (А)  в множество (В: АTВ (рис.1.5), "V" также обозначает включение множества А в множество В: ВVА (рис.1.5), Знаком "W": АWВ - (умножение или пересечение множеств),  выделяются общие для двух множеств элементы.  "U" : : AUB   - сложение или объединение  множество (в одно), в которое войдут  все элементы обоих множеств.  "="  :  А=В равенство двух множеств: каждый элемент одного множества является элементом другого и обратно.

   

.     В настоящей заметке мы займёмся выражением в языке отношений между множествами.
    Пусть дан универсальный класс (универсальное множество) I объектов (элементов), с которыми мы будем иметь дело, и его подмножества А и В, которые находятся друг к другу в некотором  из возможных отношений, как, например, представленных рис. 1
   Перед нами стоит простая задача: описать на языке отношения между двумя множествами. Первое слева направо отношение представляет равенство двух множеств А и В. Объекты, входящие в множество, называют его элементами. Элементы множества представляются в воображении в виде точек, явно они  не обозначаются. Воображают, что  все точки не различаются между собой и представляют собой некоторые сущности (существования). Единственным их свойством является то, что они представляют объект. Все  точки в языке обозначают при помощи букв, например, буквы "х", где под х понимается любая из точек универсального множества I. Другими словами, х есть переменная, определенная на множестве I. Точки начинают различаться между собой в зависимости от того, какими признаками (свойствами), вернее будет сказать признаками-свойствами (можно было бы сократить до пс) они обладают. Признаком определяется множество элементов, им обладающих. В логике предикатов  это выражают в форме А(х). В тексте наряду с этой формой выражения будет применяться также противоположное обозначение  х(А), то есть х, обладающее свойством А. Эта запись может быть сокращена  до хА.
     На рисунках границы множеств обозначаются замкнутыми линиями. Мы говорим: множества А, В. Мы можем также отождествить имена множеств с их свойствами, и тогда  будем говорить  "х обладает свойством А" или просто "А", подразумевая под ним элементы, обладающие этим свойством вместо того. чтобы говорить, что "х является элементом множества А"

   Начнем, в качестве разминки,  рассмотрение с первой слева направо части рисунка. Для начала можем просто проанализировать, с какого рода свойствами объектов мы сталкиваемся на рисунке. Это собственно чувственный подход. Мы видим, что все х делятся на объекты двух родов: множество объектов, обладающих одновременно свойствами А и В, и множество объектов, которые не обладают ни свойством А, ни свойством В. Никаких других х у нас нет.
    Когда мы высказываемся о свойствах объектов,  мы говорим либо "х обладает свойством А" либо "х не обладает свойством А", но из последнего высказывания непосредственно следует, что "х обладает свойством не-А". Отрицание  обозначаем знаком тире перед буквой (не-А = -А), как это делают  в математике при вычитании. Вычитание - это ведь тоже своего рода отрицание: вычитание из положительного целого чего-то положительного, так что на месте вычтенного при этом как будто ничего не остается, пустое место, чистая отрицательность. Вычитание из целого отрицательного дает увеличение на соответствующую величину положительного: у вас  10 руб.; вы заняли 5 руб, и у вас осталось 5 руб. и плюс отрицательная величина - долг заёмщика. Заёмщик возвратил долг, и тем самым по отношению к вам осуществлено отрицание отрицания, и у вас исходная сумма восстановилась. Т.о., если долг в пять рублей обозначим через а, то мы получаем -(а)=-а , -(-а)=а.  Здесь мы имеем дело с чем-то в роде закона физики: энергия не уничтожается и не возникает из ничего, оно просто переходит из одной формы в другую:  передача кредитором денег заёмщику уменьшило количество денег у кредитора, но деньги занятые кредитором,  не перестали существовать, так как количество денег у заемщика увеличилось на ту же величину, на какую уменьшилось количество денег у кредитора. При этом между кредитором и заемщиком установились отрицательные отношения:  заёмщик  должен кредитору. Т.о., отрицательность сама по себе -  свойство, и не менее важное, чем положительность. Мы видим, что посредством операции отрицания устанавливается отношение связи между объектами: свойства объекта не могут измениться без того, чтобы не оказались изменены свойства каких-то других объектов: отчуждение кредитором своих денег заёмщику изменило свойство заёмщика в соответствии с изменившимся свойством кредитора. 
    В тексте  будем иметь ввиду  тождество: "х не есть А тогда и только тогда, если х есть -А" и осуществлять подстановки на место выражений вида "х ге есть А" выражения "х есть -А"
    Кстати, логическая связка "суть", "есть" "является" употребляется, может быть, во всех естественных языках явно или неявно, и, однако, в математической логике она если и употребляется (логика предикатов), то неявно. Явно же она подменяется импликацией.
    Если мы будем обозначать связки типа "есть" значком ', то мы получим тождество: х-'А = х'-А. Но этот же приём мы можем распространить также на бинарные операторы следующим образом: Если ∆ -знак произвольного бинарного оператора, то имеет место тождество: -(А∆В) = А -∆ В.
    Рассматриваемая нами чувственная реальность, которая нам дана, есть А=В. Всё множество элементов класса I делится на два подмножества:  А,В   -А,-В/  Отношение равенства двух множеств может быть выражено в речи т.о.: ˄х(хϵI→(xϵA&xϵB ↓хϵ-А&xϵ-B)), то есть всякий х множества I либо обладает свойствами А и В, либо обладает свойствами -А и -В. Соответственно, исключаются элементы -А,В и А, -В. Соотнеся с наборами истинностных значений операторов, получим для строк с наборами истинностных значений переменных : 1=и, 2=л, 3=л, 4=и, что соответствует оператору эквивалентности.
    Чем характеризуется речь? Тем, что она выражается в форме суждений, обладающих субъектом и предикатом, или, выражаясь грамматически, группой подлежащего и группой сказуемого: речь всегда есть речь о чем-то и о свойствах или отношениях этого "чего-то" к другому. Поэтому нами должен выделяться в высказывании субъект и то, что высказывается относительно него, предикат. И мы говорим: если х (а "х", как мы помним, представляет собой обозначение произвольного элемента из универсального множества I), итак, "если х обладает свойством А, то х обладает свойством В; если х не обладает свойством А, то х не обладает свойством В; если х обладает свойством В, то х обладает свойством А; если х не обладает свойством В, то х не обладает свойством А.
    Знак ϵ обозначает отношение включения элемента в множество, а знак → отношение следования (отношение материальной импликации),  знак ≡ отношение эквивалентности, и знак & - конъюнкцию, поэтому  можем сказанное записать в символической форме:  (х ϵ А → х ϵ В),(х ϵ В → х ϵ А),(х ϵ - А → х ϵ -В),(х ϵ -В → х ϵ -А). Мы поучили 4 истинных высказывания. Кроме того, мы можем получить также 4 ложных высказывания  (х ϵ А → х ϵ -В),(х ϵ В → х ϵ -А),(х ϵ - А → х ϵ В),(х ϵ -В → х ϵ А). В настоящем случае речь идет не об истинности или ложности высказываний, поскольку истинностные значения их нам даны, а об отношениях между их истинностными значениями.  Выражение вида х ϵ А может быть сокращено до А, если иметь ввиду, что А представляет собой высказывание, а не предикат, который представляет собой функцию от объектов, которая при подстановке на место х определенного объекта А дает высказывание,  А(х)- это не высказывание, поскольку х не определено. Оно может быть превращено в высказывание, если к нему будут подсоединен квантор общности или существования или на место переменной будет подставлен какой-то объект а из области определения х. Предикат - это предикатная функция  от объекта. Предикат превращается в высказывание при устранении неопределенности, связанной с переменной х. В этом смысле подстановки на место объектных переменных порождают новую функцию - функцию высказывания в её отношении к реальности. А(х) - это предикатная функция, нечто переменное, А(а)- это высказывание, которое само по себе есть некоторая постоянная, то есть одно из возможных значений предиката. Но высказывание - это функция, если оно берется относительно реальности, которая добавляет высказыванию свойство быть истинным или ложным относительно реальности, с которой высказывание сравнивается. И, т.о., значения "истина", "ложь" являются значениями высказывания как функции от реальности.
    Осуществив подстановки, мы преобразовали предикатную функцию в высказывание. Полностью высказывания, которые мы сделали , имеют вид: "Для всякого х из I, если х обладает свойством А, то он обладает свойством B":  хϵI: xϵAVхϵВ.  Введение множества I имеет то значение, что оно позволяет осуществлять анализ отношений в привязке к определенному множеству. Это означает допущение, что условие истинно. Тем самым выражение "если" суживает непосредственно следующую за ним универсальную переменную до свойства А, и далее утверждается, что в этом случае будет истинно также высказывание со свойством В. А это второе утверждение суживает свойство В до всех тех х, которые обладают свойством А.
   

    Рассмотрим отношение между множествами А, В рис. 1.5.  p;
    1. Определим свойства, которыми обладают элементы. Так как свойством I обладают все элементы, то оно не будет учитываться. Тогда получим следующие виды элементов х: А,В    -А,В,   -А,-В. Отсутствует один вид элементов А,-В. Потому что, если у нас есть два элемента, то они порождают четыре возможных вида элементов, обладающих положительными или отрицательными  свойствами каждого из элементов. Помните софизм: То, чего у тебя нет, ты лишен. У тебя нет рогов, следовательно, ты лишен рогов. Другими словами, предполагается, что они были, но ты их лишен. Или что они у тебя должны быть, а так как у тебя их нет, ты их лишен. Например, когда ты узнаешь, что у Абрамовича есть яхта, какие чувства ты переживаешь? - Совершенно верно: чувство лишенности. А если бы не было у Абрамовича яхты, ты этого чувства лишенности не переживал бы. Это чувство лишенности - отрицательное социальное чувство, и оно переживается тобой как то, что есть, но чего не должно быть. У тебя по отношению к  Абрамовичу  возникает отрицательное чувство - лишенности. Но ведь ты и действительно лишен. А вот дай тебе яхту, и чувство лишенности у тебя исчезнет. Так что отрицательность - отнюдь не пустой звук.   Если мы соотнесем истинностные значения элементов со строками истинности переменных, то получим относительно них последовательносить: 1=и, 2=л, 3=и, 4=и, что соответствует набору истинностных значений оператора импликации.
    Будем считать, что те признаки из возможных, которыми элемент обладает, являются совместимыми, и те признаки, которыми элементы не обладает, являются несовместимыми по отношению к нему. И в целом в отношении системы отношений признаков элементов универсального класса совместимыми являются признаки, которыми могут обладать элементы, и несовместимыми признаки, которыми элементы обладать не могут.
   2. Как уже выше говорилось, в языке всегда выделяется объект, о котором идет речь, и он выступает в качестве субъекта суждения или подлежащего предложения. Если такого выделения объекта, относительно которого строится высказывание, нет, то мы имеем дело не с высказыванием, а с неявно заданной функцией, которая позволяет сделать множество высказываний в соответствии с объектами, которые в ней присутствуют в качестве аргументов. Например, возьмём предикат "Пасется (корова, луг, утро)". На основании этого предиката может быть образовано множество предложений: Корова пасется на лугу утром. Утро - это то время, когда корова пасется на лугу. Луг - это место, на котором пасется корова. Во всех этих предложениях предикат определяет субъект (является определением субъекта в каком-то отношении. В любом из этих высказываний неявно, в снятом виде положены все другие высказывания, которые можно образовать на основании существующего предиката. Т.о., в общем случае говорится, что А суть В. Фактически здесь говорится о связи двух свойств: свойство А влечет свойство В. За этим стоит другая форма высказывания: Всякий х, обладающий свойством А, обладает свойством В. В действительности за этой конкретикой, а так как на место х подставляются объекты, и поэтому мы имеем дело с единичными предложениями, то за этой конкретикой скрывается общий закон, определяемый необходимыми связями, которые существуют между свойствами. По сути своей от множества единичных опытов, число которых всегда конечно, "х обладает свойством А", где на месте х стоят конкретные объекты а,b,c,...,m осуществляется индуктивное обобщение: "Все х обладают свойством А". То же самое, на на противоположном языке, языке не свойств объектов, а на языке объектов свойств ˄х: :хϵА. И одно, и второе выражения являются эквивалентными при всей своей противоположности. Они просто описывают свой предмет с противоположных сторон, и поэтому в одном случае говорится об отношении между свойствами, а в другом - между элементами и множествами, то есть между объектами и их множествами. например, высказывание "Если х - человек, то всякий х  смертен" приписывает объектам х как какой-то формуле свойств, обозначаемых словом  "человек",  - свойства смертности. Во втором случае подход противоположен: Берутся не свойства, а элементы, обладающие соответствующим свойством. Переменная х, которая употребляется в обоих выражениях, определена на универсальном классе I, и поэтому в зависимости от вида высказывания она либо явно представляет элемент множества, либо неявно - свойство.
    Это, собственно, свойство всякого рефлекса, и то, что называют разумом, есть не что иное, как словесное выражение того, что делает механизм рефлекса: в той мере, в какой рефлекс подкрепляется, в этой мере формируется ожидание подкрепления. И когда число подкреплений "стремится к бесконечности", оставаясь, тем не менее, конечным, осуществляется оборачивание рефлекса, при котором возникает уже обратное отношение: если актуализируется потребность, соответствующая безусловному рефлексу, а в общем случае подкреплению рефлекса, то возникает образ условия, при котором подкрепление имеет место, и на этой основе формируется  целесообразное поведение, которое на уровне сознания рассматривают как разумное, тогда как разумного  в этом поведении всего-то и есть, что  хорошо закрепленный рефлекс. Другими словами, если есть условный рефлекс урф, который состоит из условия безусловного рефлекса- условного раздражителя урд и безусловного рефлекса брф, то есть урф=урд→брф, а безусловный рефлекс , будучи актуализирован, психологически проявляет себя в форме потребности птр в предмете потребления, который состоит из безусловного раздражителя, представляющего собой признак предмета потребления, и подкрепления пд, которое представляет собой свойство предмета потребления, удовлетворяющего потребности, то получаем два зеркальных, дополняющих друг друга процесса: 1. формирования рефлекса и 2. функционирования сформированного рефлекса. 1. урд→(птр→брф) = урд→(брд→(бпд=уптр))) Когда мы говорим о рефлексе, то мы в нём должны выделять объекты двух родов: реальные раздражители и коды этих раздражителей. Коды раздражителей удобно обозначать знаком минус, объекты - знаком плюс или просто без знака. Удобней, конечно, было бы приписывать эти знаки в виде степени (верхнего индекса) при выражении, но это усложняет печать, и поэтому от этого удобства мы откажемся. Тогда формирование условного рефлекса может быть описано т.о.: пусть есть безусловный рефлекс -птр→ -брф =-птр→(-брд→-бпд). Тогда если если -птр и  брд, то брд + -брд → -бпд и параллельно брд влечет бпд. Отсюда  бпд + -бпд = уптр. Пусть теперь совместно с брд начинает подаваться урд. В результате этого между урд и брф возникнет отражение объективной связи между -урд и -брф:  -урд→(-птр → -брф). В результате подкреплений повторяющегося опыта опосредованная связь -урд→-брд, -брд→ -бпд сокращается за счет устранения среднего члена -брд. Получаем условный рефлекс -урф =-урд →-бпд. Потребность птр и подкрепление пд есть две противоположные стороны одного и того же. Поэтому можем записать: птр = -пд (как и, соответственно, пд = -птр). Подкрепление  снимает, уничтожает потребность,  а потребность означает отсутствие подкрепления. 2. В той мере, в какой -урф образован, в этой мере отношения в рефлексе переворачиваются, и получаем схему:  -урф = -пд → -урд.   -пд и -урд - это начальная и конечная точки рефлекторной схемы, между которыми может находиться сколько угодно промежуточных элементов. Она начинает с точки потребности и заканчивается раздражителем, определяющем путь от потребности к точке, с которой начинается процесс её удовлетворения. Целью является удовлетворение потребности, средством - раздражитель, запускающий всю рефлекторную программу.
   3.  При рассмотрении отношений между множествами, представленными рис. 1.5,   А и В мы должны рассматривать в качестве двух противоположных отношений: сначала В рассматривается по отношению к А, а затем А по отношению к В, то есть сначала В выступает в качестве определения, то есть свойства, или предиката А, а затем А рассматриваем в качестве свойства В.
    Получаем в полной записи: х ϵ I : ˄x(xϵA→xϵB). Для того, чтобы это высказывание было правильно понято , оно должно быть переведено с языка множеств  на язык свойств: "если х обладает свойством I, то  любой х, обладающий свойством А, обладает свойством В", а отсюда: "свойство А влечет свойство В"  (А→В) ,  а это значит, что А суть В, или, в универсальной форме, в которой объекты присутствуют в снятом виде, "Все А суть В". А это значит, что если истинно А, то истинным будет В. 
    Нетрудно видеть, что если нам дано высказывание "Все А суть В", то, развернув сокращенную форму, получим: х ϵ I : ˄x(xϵA→xϵB), то есть импликацию. Поэтому можем утверждать, что связка "суть" есть не что иное, как сокращенная, или превращенная форма импликации.
    Что мы наблюдаем в форме выражения х ϵ I : ˄x(xϵA→xϵB)? - то,  что, антецедент импликации суживает универсальное множество I до класса А, и поэтому предикат В приписывается элементам класса А.
    Высказывание "Все А суть В" истинно.  Однако допустим, что  оно ложно. Если так, то истинным должно быть, во всяком случае, минимальное высказывание:  "Некоторые А суть не-В" (˅х(хϵА→хϵ-В),  Но элементов х со свойствами А и -В  не существует, следовательно, высказывание "Некоторые А суть не-В" ложно. Если мы обратимся к таблице множества истинностных значений высказываний,  то получим  А=и, В=и →АVВ=и   и А=и, В=л → АVВ =л, где знак "V"- знак материальной импликации. Знак "→" употребляется в  тексте  как  метазнак импликации ( в качестве термина "влечет") и как знак импликации всюду, где  знаки "→" и "V" не встречаются в одном выражении.
    Мы рассмотрели условие, когда в качестве субъекта берется А. Теперь нам необходимо рассмотреть условие, когда  в качестве субъекта берется не-А. Из рис.1.5 следует, что если не-А, то возможно В и  возможно не-В, то есть "некоторые не-А суть В"= и, и "некоторые не-А суть не-В"=и. Т.о., нами получена неопределенность. Следует иметь ввиду, что, говоря "все" "некоторые" мы имеем дело с мышлением, с понятиями. На практике, в чувственной сфере мы можем иметь дело только с конкретными единичными объектами. И поэтому эти две сферы - сфера мышления и сфера чувственности - разделены между собой, а это значит, что высказывания А суть В в сфере чувственности применяются к отдельным объектам, поскольку чувственность имеет дело с объектами, а не с понятиями. Тогда как мышление имеет дело с идеями, которые выражаются в форме понятий. В мышлении понятие положено, объект снят. В чувственной сфере объект положен, понятие снято (то, что Гегель называет "светится" в объекте).  
      Может быть, противоположность между "чистым" мышлением и "чистой" чувственно-практической деятельностью можно смягчить посредством введения понятий мышления в понятиях и чувственного мышления. Разумеется, иная терминология ничего не меняет в сути, изменяя лищь акценты. Тогда мышление в понятиях будет характеризоваться тенденцией к универсализации последних, что выражается в кванторе всеобщности "все". Мышление в чувствах характеризуется тенденцией индивидуализации, то есть тенденцией к единичным высказываниям. В этом отношении квантор существования "некоторые" представляет собой промежуточные формы  между мышлением в понятиях и чувствах.  Как раз эта неопределенность форм и порождает неопределенность, которая характеризует импликацию для не-А. Т.о. мы получаем следующие две строки для возможных наборов истинностных значений высказываний:  так как х ϵ I : ˅x(xϵA→xϵB) = и   и  х ϵ I : ˅x(xϵA→xϵ -B)=и, то получаем:  А=л, В=и → АVВ=и, А=л, В=л→АVВ=и. Т.о., мы получили таблицу истинности для .импликации, и мы можем сказать, что ею выражается отношение между множествами, представленными рис.1.5
   

    4. Выбор, какое из двух множеств при рассмотрении отношений между ними берется  в качестве субъекта, и какое - в качестве предиката, отражается в наборах истинностных значений операторов логики высказываний т.о., что истинностные значения переменных рассматриваются в определенном направлении, а именно, слева направо, и левая переменная представляет субъект, правая - предикат. Конечно, ничто не мешает нам произвести опыт рассмотрения порядка переменных справа налево, рассматривая тем самым в качестве субъекта правую переменную, а в качестве предиката - левую
    Берем тот же рис. 1.5.  х =I.   хϵВ→хϵА˅хϵ -А, то есть ˅х(хϵВ→хϵА)&˅х(xϵB→xϵ -A). [Некоторые В суть А и Некоторые В суть не-А] А это значит, что если В = и, то из него могут  быть выведены как А, так и не-А. Это соответствует 1 и 3 строкам наборов истинностных значений А и В.  Пусть хϵ -В. Тогда ˄х(хϵ -В → хϵ -А) = и,  ˅х(хϵ -В → хϵА)= л.  Ложное выражение принадлежит второй строке, истинное - четвертой.  Т.о., мы снова получили истинностную таблицу  илии, хотя  при этом нами взято обратное отношение между двумя множествами.  Но ведь нами рассматриваться переменные должны слева направо, и, значит, переменные А и В должны поменяться местами.  Если мы поступим таким образом, то получим, что строки 1=и, 2=и, 3=л, 4=и, т.е. иили, что соответствует обратной импликации.  
 

    5.Снова возьмём рис.1.5, но представим теперь, что не А включено в В, а, напротив, В включено в А. Этому отношению соответствует рис.1.6. В качестве субъекта рассмотрения возьмём А. Тогда получим объекты х со свойствами  А,В   А, -В,  -А,-В.  1. х ϵ I : ˅x(xϵA→xϵB)&˅x(xϵA→xϵ -B)=и. Это - сложное высказывание, части которого соответствуют двум первым строкам набора истинностных значений переменных А, В.  2.  ˄х( хϵ -А→хϵ -В)=и (читается : для всякого х, если х является элементом множества  не-А, то х является элементом множества не-В). ˅х(хϵ -А→ хϵ В)= л. Здесь  употреблен квантор существования, потому что если не существует элемента х со свойством В, то тем  самым ни один элемент  х не обладает свойством В.
    Третья строка набора истинностных значений  переменных А, В  порождает ложную импликацию,  четвертая -  истинную. Получили набор иили, что в таблице соответствует обратной импликации, которая читается: А, если В.

    Замечание. Полезно воспользоваться понятиями "пустое множество", "непустое множество". Обозначим пустое множество нолем (0), не пустое - единицей (1).  Пары вида А, В и т.п. представляют  пересечение множеств.  Пересечение множество обычно обозначается знаком ∩ либо просто знаки множеств записываются последовательно.  В тексте между пересекающимися множествами ставится запятам с целью сделать более четким обозначений дополнений к множествам.  Тогда  для отношения между множествами ВT(АTI) получим: А,В=А,-В=-А,-В=1,  -А,В=0. Благодаря этому получена полная информация о множествах. Теперь спроецируем знаки множеств на высказывания о них, которые обозначим теми же буквами..  Тогда  получим, что высказывания А и В принимают значение истина для наборов ии, ил, лл, и значение ложь для набора ли, то есть последовательность истинностных значений для строк 1-4: иили. Находим по  истинностной таблице операторов, какому оператору данный набор принадлежит. Это - обратная импликация.

    6. хА выделяет в множестве I подмножество А. хВ выделяет в множестве I подмножество В. Имликация хА→хВ выделяет в множестве В подмножество А. Обратная импликация хА←хВ  равна импликации хВ→хА, поэтому она выделяет в множестве А подмножество элементов В . В таком случае, если истинны высказывания ˄х(хϵА→хϵВ) и ˄х(хϵА←хϵВ), то это возможно лишь при условии, что множества А и В равны,  то есть хА истинно тогда и только тогда, когда хВ, то есть ˄х(хϵА≡хϵВ), что соответствует таблице истинностных  значений эквивалентности:  илли. Действительно, если мы конъюнктивно объединим  прямую и обратную импликации, то первая и четвертая строки набора истинностных значений А и В дадут истину, а вторая и третья - ложь, так как конъюнкция истинна при условии истинности входящих в неё выражений, а у нас 1, 4 строки есть ии, а вторая и третья, соответственно, ил, ли.

    Отношение эквивалентности делит универсальный класс I на две части: на множество элементов А,В и множество элементов -А,-В


    Ниже приведены выдержки из семинара от 13.09.11. Комментарии делаются всюду, где возникает неясность. В частности, сокращения ли и лл обозначают "логика истины" и "логика лжи". Логика истины - это общепринятая логика. Обычно логика истины и логика лжи рассматриваются как относительные друг к другу, тогда как сами по себе рассматриваются (точнее, сами себя рассматривают) как логики истины. Другими словами, мы имеем дело с двумя логиками истины, каждая из которых другую рассматривает в качестве логики лжи. Это становится возможным всюду, где носители логик поставлены в конкурентные отношения друг к другу и в силу этого по отношению к себе и к конкуренту относительно одного и того же применяют противоположные понятия..
    Замечания в тексте представлены  шрифтом Tahoma

    130911
    106. Задание: 1. Задать возможные отношения между кругами Эйлера.
    107. 2. Описать словесно отношения между кругами в логике предикатов посредством логических операторов высказываний, используя при этом их истинностные таблицы.
    108. Даны два равных множества А и В. При этом в ли категория истины «истина» должна соответствовать этому описанию. И, соответственно, истинностное значение «ложь» должно ему не соответствовать. Мы можем выделить два истинностных ряда. Если нам дан «х», то если х принадлежит А (принадлежит множеству А; на другом языке: х обладает свойством А), то х будет принадлежать и множеству В. И если х принадлежит множеству В (обладает свойством В), то х будет принадлежать и множеству А (Обладать свойством А. Свойство – это то, что относит элементы к тому или другому множеству).Эти два высказывания истинны, и мы можем объединить их конъюнкцией. Истинная конъюнкция  прямой и обратной импликации равна эквивалентности, что легко проверить, воспользовавшись таблицей истинностных значений операторов.  Когда нами что-то делается, необходимо предварительно для себя сформулировать, что именно мы делаем, какого рода алгоритм нами выполняется. Между тем, чаще всего, во всяком случае, на стадии научения, нами выполняются какие-то вещи на основе не осознаваемых алгоритмов. Вообще процесс научения осуществляется вначале на основе интуитивных алгоритмов, которые только в конце пути, и если они показали свою эффективность, осознаются и явно формулируются. Семинар идет на уровне интуитивных ощущений, в которых смешаны разные принципы. Какие это принципы?  С одной стороны, всюду применяется один и тот же способ условного анализа: задается условие и рассматриваются его следствия: если х обладает некоторым свойством, то из этого следует, что он обладает или не обладает каким-то другим свойством. И этот прием применяется для каждого из возможных отношений между  заданным отношением двух множеств. Т.о., с одной стороны, мы имеем некоторый рисунок, чувственно представляющий отношения между двумя множествами в области универсального класса. Заданные отношения двух множеств соотносятся с истинностной таблицей бинарных операторов. Если мы допустим такие отношения между двумя множествами, при которых имеют место все возможные отношения между ними, то получим АВ, А -В, -АВ, -А -В; тогда, переходя к таблице истинностных значений бинарных операторов и приняв, что А=В=и, -А=-В=л, получим наборы истинностных значений для переменных высказывания А и В. Здесь необходимо иметь ввиду, что то, что значение "и" нами привязано именно к А, есть та точка зрения, с которой нами рассматриваются объекты. Сказать, что А истинно, а -А ложно, всё равно, что сказать, что А - хорошее, а -А - плохое, то есть это- субъективная вещь, объективная сторона которой состоит в том, что т.о. осуществляется привязывание субъекта к определенным объектам реальности как точке отсчета, или точке опоры. Т.о. осуществляется соединение, связь субъекта с объектом, обеспечивается форма их единства, которая является в силу этого по необходимости односторонней, но благодаря чему достигается определенность и поэтому действенность отношений субъекта с объектом.
    То, что нам нужно, это выразить отношение между множествами на языке.  Кажется, что самое простое, это, применяя условный принцип, привести отношения между множествами отдельно к каждой из строк наборов истинностных значений. Как это можно было бы сделать? Непосредственно взять множество возможных отношений между множествами и наложить их на наборы истинностных значений переменных А и В в таблице истинности. Так как каждому из возможных наборов истинностных значений соответствует или не соответствует набор отношений между множествами, то можно просто наложить "положительные" множества на "истину",  и "отрицательные" множества на "ложь". Тогда для множества А=В, приравнивания  множества А, В к переменным А, В и, соответственно,  множества А, В к истине, а -А, -В - ко лжи,  получаем наборы: АА=ии=и, -А,-В = лл = и, А,-В = ил=л, -А, В =ли=л, смотрим на таблицу истинности и по ней определяем,  что этому набору истинностных значений соответствует оператор эквивалентности.  Этот прием может быть успешно применен для анализа любого отношения между множествами, если поставлена задача определения оператора, которым выражается отношение между множествами. Однако при этом мы  не получаем  полной информации об отношениях между множествами, так как при этом не учитываются кванторы общности и существования. С другой стороны, подобного рода приём характеризуется избыточностью: "если х не принадлежит А, то х не принадлежит В и если х не принадлежит В, х не принадлежит А"- истинное высказывание, что соответствует эквивалентности -А≡-В, но (-А≡-В)≡(А≡В), что и говорит об избыточности произведенного анализа.  Т.о. равенство двух множеств выражается оператором эквивалентности. Соответственно, мы также получим два ложных высказывания. То есть ложно, если х обладает свойством А, то он не обладает свойством В, и если х обладает свойством В, то х не обладает свойством А, и если х не обладает свойством А, то он обладает свойством В, и если х не обладает свойством В, то он обладает свойством А. Если мы будем рассматривать эти высказывания в качестве истинных,  то получим избыточное определение  оператора строгой дизъюнкции и, соответственно, отрицание эквивалентности. В чем заключается неловкость, с которой мы столкнулись? Она связана с тем, что мы непроизвольно переходим от непосредственно - чувственного отношения к реальности, представленной в данном случае отношениями между двумя множествами, к логике, что, во всяком случае, нежелательно. 
    Если  множество А=В,  то можно сформулировать два истинных высказывания: хϵI:  ˄х(хϵА→хϵВ) & ˄x(xϵА←хϵВ)=и, ˄х(хϵ-А→хϵ-В) & ˄х(хϵ-А←хϵ-В) =и  и, соответственно, два ложных высказывания ˅х(хϵА→хϵ-В)&˅х(хϵ-А→хϵВ)=л и ˅х(хϵВ→хϵ-А)&˅х(хϵ-В→хϵА)=л, что соответствует набору истинностных значений оператора эквивалентности.
   
    109. Пусть множества А и В не имеют общих элементов, не пересекаются. Тогда мы можем утверждать, что если х обладает свойством А, то х не обладает свойством В, и если х обладает свойством В, то он не обладает свойством А.
    110. Эти два высказывания являются истинными. И мы можем объединить их конъюнктивно. ˄х(хϵА→хϵ-В) & ˄х(хϵВ→хϵ-А) = и. Но мы не можем в общем случае утверждать, что если х не обладает свойством А, то он не обладает свойством В. Мы можем сказать, что в этом случае х обладает или не обладает свойством В, или, иначе, х может как обладать, так и не обладать свойством В. (Но если х не обладает свойством В, то он обладает свойством не-В). ˅х(хϵ-А→хϵВ) & ˅х(хϵ-А→хϵ-В)=и
    Также  мы можем утверждать, что если х не обладает свойством В, то он обладает или не обладает свойством А, то есть он обладает свойством А или свойством –А. ˅х(хϵ-В→хϵА) & ˅х(хϵ-В→хϵ-А)=и Т.о.. мы получаем три варианта истинных высказываний, один из которых представляет собой определенное,  общее высказывание, и два варианта , содержащие неопределенные (частные ) высказывания.
    Наконец, имеем ложные высказывания ˅х(хϵА→хϵВ)=л, ˅х(хϵВ→хϵА)=л.  Этими вариантами полностью исчерпывается описание отношений между множествами
     
    111. Когда мы говорим, что х обладает или не обладает каким-то свойством, мы имеем дело с единичным высказыванием, то есть высказыванием о единичном объекте. Но в этом высказывании  х берет любой элемент из множества. И отсюда мы получаем отождествление единичного высказывания с общим высказыванием. Другими словами, мы говорим: для всякого х и т.д. Но если мы говорим «для всякого х", то мы берем х из универсального класса. Поэтому очевидно, что высказывание должно иметь иную форму. А именно, для всякого х, которое обладает свойством А (тем самым мы выбрали подмножество А из универсального класса I.) справедливо, что оно обладает свойством В. Иначе: "Для всякого х (из класса I), если х обладает свойством А, то х обладает свойством В". В рассматриваемом нами случае мы имеем другое. А именно, существуют х, такие, что если они обладают свойством А, то они  обладают и свойством В, и существуют такие х, которые не обладают свойствами А и В, то есть обладают свойствами –А или –В, тогда  мы можем сказать, что существуют такие х, что если х обладает свойством А, то он не обладает свойством В, если он обладает свойством В, то он не обладает свойством А, и существуют такие х, которые не обладают ни свойством А, ни свойством В. Иначе всё это можно записать: А,-В, В,-А, -А,-В. Единственный вариант, которого не существует, это когда х обладает и свойством А, и свойством В. Таким образом, мы получили отрицание конъюнкции, или оператор (штрих) Шеффера.


    113. О методе. 1. Если мы имеем дело с отношениями между элементами, то то, с чего мы должны начать, это в соответствии с нарисованной таблицей определить все те свойства, которыми могут обладать элементы универсального множества I. 2. Если в универсальном классе присутствует более двух подмножеств, например, три подмножества, то мы можем разделить задачу на последовательность простых задач, беря сначала два какие-то множества и определить свойства их элементов. Затем рассматриваем полученный результат как целое и добавляем следующее подмножество и т.д. последовательно, пока не будут исчерпаны все подмножества.
    114. Например, пусть даны дан класс I и несовместимые (не пересекающиеся) множества А, В,С. Берем множества А и В. Правило 1: Если х не обладает свойством А, то х обладает свойством –А. Правило 2: Если элемент обладает множеством свойств (входит в множество множеств), то такие свойства (множества) называются совместимыми. Если не обладает набором каких – то свойств, то по отношению к нему в данное время и в данном отношении они называются несовместимыми.
    115. Тогда получаем: х(А, В): хϵА&хϵВ=А,В; хϵА & xϵ-B = A,-B; хϵ-А & xϵB = -A,B; хϵ-А & xϵ-B =- A,-B; Здесь используется не принцип условия, а принцип совемстности, выражаемый конъюнкцией. Получаем четыре  непересекающихся множества А,В ↓А,-В ↓ -A,B ↓ -A,-B ↓ Теперь мы должны каждое из полученных множеств рассмотреть по отношению к С. Но когда у нас есть рисунок, представляющий отношения между множествами, то на нём изначально даны все возможные множества, и поэтому гораздо проще, глядя на рисунок, сразу определиться с подмножествами. В настоящей задаче получим: А,-В,-С -А,В,-С -А,-В,С -А,-В,-С
    116. Этот прием следует зафиксировать в качестве технологического
    117. Какова связь между истинностными значениями операторов высказываний и кванторами общности и существования. Кванторы существования характеризуются неопределенностью. Соответствующие значения операторов принимают значения «истина», «ложь» для одного и того же истинностного значения антецедента импликации.
    118. Теперь следующее понятие, которое мы должны ввести, это точка отсчета. Это –тот предикат, то есть свойства объекта, по отношению к которому берутся другие предикаты. Рассматриваются отношения другого предиката к нему.
    119. Мы должны последовательно рассматривать всевозможные отношения одного предиката, затем – всевозможные отношения другого предиката к окружающим его предикатом. В связи с этим, если мы берем включение множества А в множество В, и если мы берем в качестве точки отсчета элементы множества А, то мы получаем следующий вариант: 1. Для всякого х, который обладает свойством А, справедливо, что он обладает свойством В. 2. Если х не обладает свойством А, то он обладает свойством –А, и обладает свойством В либо –В. Берем в качестве точки отсчета В. Тогда существует такое В, что А, существует такое В, что –А, и всякое  –В есть –А.  И, кроме того, мы можем рассматривать множество, не привязываясь к какому-то определенному. Тогда, если дан рис.1.3 , то можем, во-первых, записать следующее: всякий элемент обладает или не обладает некоторым свойством. Выделяем    в рисунке непересекающиеся можества и получаем -А,-В, А,-В, В,-А. Все эти пары объектов можем связать конъюнкцией. Получаем: ˄А&˅-B (все А и некоторые -В) = ˄В&˅-А = ˅-А&˄В = ˅-В&˄А = и и ˅А&˅В=л. Спроецируем полученные выражения на истинностные таблицы операторов. Таблицыц операторов читаются слева направо Левая часть соответствует субъекту высказывания, правая - предикату. Почему. Рассмотрим переводы импликации в связку "суть" и обратно. В импликации антецедент фиксирует множество, относящееся к субъекту, и поэтому высказывание ведется относительно элементов антецедента. В импликации, если ∆=˄↓˅, форма ∆х(хϵА→хϵВ ) характеризуется тем, что антецедент есть все х, обладающие свойством А, то есть все А. Что такое х - это переменная, определенная на множестве I, в рамках которого рассматриваются множества А и В. Говоря: ˅х(хϵА→хϵВ), мы высказываемся относительно х, а не относительно А и В.  
   120 Мы должны рассматривать множества с точки зрения кванторов. Глядя на рисунок, мы сразу же можем определиться со "всеми" или "некоторыми" Пусть дан рис. 1.3. 
    124. 140911
    125. Мышление мыслит блоками, то есть понятиями. Чувство мыслит единицами.
    126. Элементы строгой дизъюнкции: А,-В, В, -А – два истинные суждения, и два ложные: А.В, -А,-В.
    127. Итак, если А включено в В, то всякий х, обладающий свойством А, обладает и свойством В. Потому что мы можем сказать иначе: для всякого х, обладающего свойством А, существует у, обладающий свойством В. Это уже совсем другое.
    128. Мы говорим о множестве свойств, которые присущи одному и тому же элементу.
    129. Если внеположные, то , всякий х, который обладает свойством А, обладает свойством –В – это истинное высказывание, обладает свойством В – ложное. Т.о., получаем вывод однозначный: х, который обладает свойством А, обладает также свойством не-В. Мы можем вынести х за скобки и в скобках написать А→В. То есть х(А→ -В)=и, х(А→В)=л.
    130. Пусть не-А. Тогда некоторые –А обладают свойством В, и некоторые –А обладают свойством –В.
    131. Здесь налицо дихотомическое деление множества –А на подмножества В и не-В. Тогда мы получаем, что х, обладающий свойством не-А, обладает некоторым положительным и отрицательным свойством В и не-В. Какое следствие в общем случае можно сделать из того, что х может как обладать некоторыми свойством, так и не обладать. Разве не то, что свойство В не является отличительным свойством А, но не является также необходимым свойством А.
    132. Еще раз. Пусть не пересекающиеся А и В. Мы берем в качестве субъекта свойство А именно потому, что безразлично, какое из двух свойств брать в качестве субъекта, так как отношения между свойствами симметричны. Тогда у нас множество элементов х таких, которые либо обладают свойством А,-В, либо –А, В, либо –А,-В. Отсюда получаем: ᴧх(хϵА→хϵ -В)=и, ᴠх(хϵА→хϵВ)=л, ᴠх(хϵ-А→хϵВ)=и, ᴠх(хϵ-А→хϵ -В)=и. Получаем неопределенность. Получили набор истинностных значений лиии, что соответствует оператору отрицания конъюнкции. Вывод, который делаем: всюду в истинностных таблицах, где субъекту соответствуют истинностные значения предиката и, л, мы имеем дело с частным суждением.
    133. В этом операторе мы имеем неопределенность, которой характеризуются частные суждения, и определенность, которая выражается в том, что имеем место общее суждение, что и становится основанием для возможности делать выводы, а именно, на основании наличия признака А, можно утверждать признак В, то есть А является необходимым признаком В
    134. Отличительные и необходимые признаки. Отличительным является признак, на основании которого выделяется предмет. Единство отличительного и необходимого признаков предметов. Отличительный признак – это явление сущности предмета, необходимый признак – это сущность явления отличительного признака.
    135. Рассмотрим отношения пересекающихся множеств, сумма которых не исчерпывает универсальный класс. Х в нём обладает либо значением А,В, либо А,-В, либо –А, В, либо –А, -В. То есть , в соответствии с приведенным выше правилом, отражающим наблюдение, имеем четыре истинных частных высказывания: ᴠх(хϵА→хϵВ)=и, ᴠх(хϵА→хϵ -В)=и, ᴠх(хϵ-А→хϵВ)=и, ᴠх(хϵ-А→хϵ -В)=и. Получили 4 истинностных значения «истина»: ииии, что соответствует оператору под №1 – тождественно-истинное высказывание, в котором ни один из признаков не является ни отличительным, ни необходимым.
    136. Между кругами Эйлера мы можем взять зеркальное отражение, то есть те множества, который выступали в качестве А, В, взять в качестве –А, -В, и обратно. Это – один вариант. А второй вариант может включать в себя оставшиеся варианты, когда мы берем А и вместо В негатив В, то есть не В, либо в качестве позитива вместо А берем не-А, оставляя В.
    137. Начнём с негатива обоих множеств. Пусть дано отношение включения А в В. Тогда негатив даст противоположное отношение – включение В в А. Здесь можно сделать еще так: то, что мы рассматриваем, есть субъект нашего рассмотрения. Когда у нас есть реальность включения А в В, и сумма А и В не исчерпывает класс I, то объектом нашего рассмотрения могут быть совершенно различные вещи: это может быть рассмотрение отношения между А и В, но это также может быть рассмотрение отношения между не-А и не-В, то есть мы можем высказываться о них. Мы можем также рассматривать отношения А и не-В либо не-А и В. И во всех этих случаях все эти вещи выступают в качестве субъектов соответствующих суждений. Но мы можем также рассматривать отношения между отношениями. Ведь для нас могут иметь значения отношения А, В, то есть именно они могут выступать в качестве критерия истины. Но при этом мы можем рассматривать отношения –А,-В и оценивать уже их истинность с точки зрения этих критериев. В этом всё дело: один вопрос, когда мы рассматриваем А, В, и они же являются критерием нашего рассмотрения, и совсем другое дело, когда мы рассматриваем какое-то другое из возможных отношений с точки зрения критериев А, В. А для этого нужен какой-никакой понятийный аппарат. В качестве первой попытки решения этой проблемы можем принять, что А = А++ А-, или, в более простой записи, +А, -А. И плюс к этому операция отрицания, изменяющая валентность А на противоположную. Тогда Получаем, Если +А сократить до А, то отрицание А: -(А)=-А, и, соответственно, -(-А)=А. Тогда у нас создается видимость того, что мы имеем дело с А и его негацией –А, тогда как в действительности мы имеем дело с поляризацией, которая характеризует А. То есть А – это общее название для системы противоположностей. +А, -А – это поляризация, качественное определение сторон противоположностей. А как целостность существует в одной из своих форм +А либо –А, которая называется положенной, её же полярная сторона – снятой, или вытесненной.
    138. А, В становятся противоположными. Теперь оказывается, что В включено в А. Но это – при условии, которое как раз обычно и выполняется, а именно, при том, что обычно мы рассматриваем в качестве истинного то, с чем имеем дело, что непосредственно воспринимаем. Поэтому если мы непосредственно имеем дело с –А, то мы рассматриваем его в качестве истины, и, соответственно, А в качестве лжи и т.д. Т.ск., непосредственно данная реальность убеждает нас в своей истинности. И тогда все остальное, ей не соответствующее, выступает в качестве лжи. Мы постоянно меняем точки отсчета в соответствии с тем, что воспринимаем. Но возможно и иное отношение, когда о любой реальности мы судим с точки зрения некоторых постоянных критериев. Абсолютизация любого их этих двух отношений ведет к неадекватному отражению реальности. Принцип механизма рефлекса состоит в том, что в нём закрепляется то, что постоянно подкрепляется, и затормаживается то, что не подкрепляется. И здесь важна мера лабильности рефлекса, который может затормаживать существующие связи уже после одного неподкрепления либо же способностью не затормаживать рефлекс практически при «бесконечном» числе неподкреплений.
    139. Если мы имеем дело с негативом, то обозначения могут быть такие: мы имеем А+ и А- и операцию отрицания: -А+=А- и –А-=А+.
    140. Соответственно, отсюда возможен переход к связке силлогистики Аристотеля, которая оперирует высказываниями и логики высказываний. Но силлогистика Аристотеля – это умозаключения, выводы.
    141. Итак, мы шли от заданных отношений между множествами к их выражению в логике, и конкретно, в логике высказываний. А теперь можем попробовать выполнить обратную задачу: идти от логических операторов к отношению между множествами.
    142. Начнём с дизъюнкции. У дизъюнкции три первые строки истинны, последняя ложна. Отсюда следует: первые две строки представляют собой частные суждения. Значит, существует А такое, что В, и существует А такое, что не-В. То есть «некоторые А суть В» = и и «некоторые А суть не-В)=и. То есть множество А содержит в себе элементы х, обладающие свойством В, и элементы х, не обладающие свойством В. А это означает, что множество А частично пересекается с множеством В. (Для того, чтобы А было В, А должно пересекаться с В, и для того, чтобы А было не-В, оно не должно быть включено в В.)
    143. Третья и четвертая строки – это не-А. Не-А третья строка – это ли, то есть не-А, В, а четвертая строка лл, то есть не-А, не-В. Так как для четвертой строки дизъюнкция принимает значение ложь, то элементов х со свойством не-А, не-В не существует. Отношение же не -А, В, в силу того, что противоположное отношение –А,-в исключено, представляет собой общее высказывание: все не-А суть В. А это значит, что сумма множества А и суммы дополнения к А, равного –А и В исчерпывают собой универсальный класс I, то есть множество I,-A,B =0, то есть является пустым множеством, то есть множеством, которое не содержит элементов. Из полученного рисунка отношений между множествами получаем: -В →А, то есть не-В влечет А. и, соответственно, -А →В. Другими словами, мы имеем дело с двумя суждениями: Всякое не-А суть В, и всякое не-В суть А или то же самое в импликативной форме: ᴧх(х ϵ -В → х ϵА) и ᴧх(х ϵ-А →х ϵВ)
    144. Мы можем проверить правильность перехода от таблицы истинности дизъюнкции для высказывании А и В к отношению между множествами А и В. Мы имеем элементы: А,-В, А,В, -А,В. Получаем: ᴠх(х ϵА →х ϵВ)& ᴠх(х ϵА ←х ϵ -В)=и. Т.о., если А истинно, то из него следует либо истина В, либо истина –В., то есть из истинности А могут следовать как В, так и не-В. Т.о., получаем две первые строки таблицы истинности для дизъюнкции: ии=и, ил=и.
    145. Не-А – это дополнение А плюс область пересечения А с В. Тогда и получаем: ᴧх(х ϵ -А → х ϵВ)=и, ᴠх(х ϵ -А →х ϵ--В)=л. Ложью представляется пустое множество. Получили: третья строка ли=и, четвертая строка лл=л. Т.о. в целом получили таблицу истинности дизъюнкции.
    146. Мы видим, что в определениях операторов логики высказываний кванторы явно не присутствуют, но неявно они закодированы в таблицах истинности. Наконец, мы можем высказаться и об истинностных значениях ложь. В дизъюнкции ложным является высказывание ᴠх(х ϵ -А →х ϵ--В)=л. Чтобы превратить его в истинное, нужно взять его отрицание. Получим: не существует х, такого, что –А есть –В. Это – общеотрицательное суждение: ни одно не-А не есть не В. Откуда следует, что ни одно не-В не есть не-А. Отсюда получаем: мы можем иметь дело с классом положительных суждений и, соответственно, положительной логикой, и с классом отрицательных суждений, и, соответственно, с отрицательной логикой. Логики, которыми пользуется человек, отражают его психологическую установку на его утверждение либо отрицание существующее реальности.
    147. Смотрим конъюнкцию. Конъюнкция истинна, если истинны А и В, то есть если х обладает и свойством А, и свойством В
    148. Здесь мы сразу же сталкиваемся с двумя возможностями отношения к конъюнкции: ведь мы можем использовать как положительный, так и отрицательный способ суждений. Так, в конъюнкции, если мы применяем отрицательный способ суждений, то нами 2-4 строки наборов истинностных значений переменных будут давать истину, а первая строка – ложь. И тогда мы получим множество отрицательных суждений, которые будут выглядеть как: Неверно, что если А=и и В=и, истина. Это – ложь, этого не должно быть. Неверно, что –А&В – это ложь. –А&В – истина. К примеру, о том, чего нет, мы говорим, что оно есть, и о том, что есть, мы говорим, что его нет.
    149. Но возвратимся к конъюнкции, которая истинна только для А и В и ложна для остальных случаев. Как это может быть? Это может быть только таким образом, что все элементы А и все элементы В совпадают друг с другом, и, во-вторых, исчерпывают собой универсальный класс I, так как в этом случае не получаем элементов –А,В, А, -В, -А, -В. Это всё будут ложные предложения, которым соответствуют пустые множества.
    150. Теперь рассмотрим отрицательные операторы: отрицание конъюнкции, дизъюнкции, прямой и обратной импликаций и тождества.
   
    151. Начнём с отрицания конъюнкции. Отрицание конъюнкции – это ложное выражение первой строки и истинное остальных строк. Т.о., у нас отсутствует совмещение А и В, то есть нет такого х, который одновременно обладает и свойством А, и свойством В. Но у нас есть х, такой, что (-А,В А,-В, -А,-В). Это можно записать в виде х((-А,В А,-В, -А,-В). Как это может быть?
    152. Т.о., что А и В не имеют общих элементов, то есть не пересекаются. Это – пустое множество. Но в то же самое время сумма А+В не исчерпывает собой универсального класса. А это – отношение между двумя внеположными множествами. Это отношение уже рассмотрено.
    153. Рассмотрим отрицание дизъюнкции. Отрицание дизъюнкции содержит первые три строки ложные, последнюю – истину. Следовательно, истинными могут быть только –А,-В и, соответственно, отношение между ними. Возникает вопрос, а как это может быть? Понятие лжи может рассматриваться как пустое множество. Это – один вариант. Второй вариант заключается в том, что как А+, так и А- - это суть нечто позитивное. Это уже ближе к моей логике противоположностей. Введение же пустого множества – это как раз способ выхода для обозначения множеств, которые не содержат в себе элементов, в данном случае для отрицания дизъюнкции.
    154. Отрицание дизъюнкции, следовательно, это одно множество –А,-В, которые совпадают и которыми исчерпывается универсальный класс.
    155. Теперь посмотрим, что представляет собой отрицание импликации. Отрицание импликации – это истина А,-В. Значит, пустыми множествами являются множества А,В -А,В -А,-В, что можно записать как: х(А,В + -А,В + -А,-В) =0 Т.о., мы имеем множество , которое содержит А и дополнение В, которыми исчерпывается универсальный класс.
    156. Отсюда автоматически получаем выражение обратной импликации как два совпадающих множества –А,В, исчерпывающих универсальный класс.
    157. И, наконец, обращаемся к тождественно-ложному высказыванию. Очевидно, что ему соответствуют: АВ=л, А,-В=л, -А,В =л, -А,-В=л, то есть мы получаем 4 пустых множества. Рассмотрим это дело подробнее. ᴠх(х ϵА →х ϵВ)=л. Чтобы перейти к истинному высказыванию, нужно перейти к его отрицанию. Получим: «ни один х, если он обладает свойством А, не обладает свойством В», то есть не существует х, который, обладая свойством А, обладал бы и свойством В. Значит, в данном случае мы имеем дело с противоположностью, противопоставлением существования и не существования. Но в мире действует категория становления, и то, что существует, перестает существовать, и то, что не существует, начинает существовать. Что есть сохраняющегося за существованием и не существованием? – идея. Идея материализуется и дематериализуется. Материализованная идея – это существование. Дематериализация идеи – это прекращение существования. Можно категорию существования интерпретировать таким образом. Но, в общем, это же относится и к идеям, которые обусловлены материальным миром и которые возникают и исчезают в соответствии с потребностями человеческой практики. Что во всём этом важно? То, что несуществование не есть нечто полностью отрицательное, ничто, хотя Гегель и начинает с бытия и ничто. Во всяком случае, ничто, небытие оказывается не пустой вещью. Другая сторона, связанная с понятиями существования и несуществования: для человека объективно существует то, что он отразил, и не существует того, чего он не отразил, и не имеет значения, что за всем этим стоит объективная реальность. Словом, категории существования и несуществования оказываются отражающими друг друга категориями. Нечто может существовать материально и не существовать идеально, как и обратно. Поэтому можно говорить о параллелизме, взаимодействии, взаимоопределении существования и несуществования. А если так, то ложные высказывания представляют собой не менее важное отражение реальности, чем истинные, и отношения между ними являются напряженными и динамическими. Медведев не существовал в качестве президента, но существует, и перестанет существовать в этом качестве. То есть объект приобретает некоторые свойства и теряет их.
    158. Поэтому, если мы говорим о зеркальности существования и несуществования, то мы должны определиться со сторонами зеркала, как, например, с идеей и её материализацией: ведь никакая идея не материализует сама себя, она является моментом, например, человеческой практической деятельности, в которой человек реализует свои собственные цели, реализуя тем самым идею. Но тогда если мы говорим, что ни один х не обладает свойством А,В, то это означает, что х – это то, что рассматривается в качестве, например, материально существующего. Но тогда мы также и сам х должны рассматривать как х=х+ + х-, и мы имеем дело либо с х как материально существующим объектом, либо с отрицанием этого объекта, а в качестве реальности этого отрицания может выступать идея. Всё это подобно тому, что есть в реальности и что есть в голове человека. Ведь то, что есть в голове человека – это небытие. А если так, то отрицательное суждение может рассматриваться как, в свою очередь, обладающее соответствующим содержанием, превращением, например, материи в идею. Но материализация идеи есть отрицание идеи в её материи, а материя отрицается новыми идеями. Речь, следовательно, идет о человеке и о способе его взаимодействия с внешней средой, о том, что идеальное и материальное взаимно отрицают друг друга и тем самым взаимно превращаются друг в друга. Если мы говорим о существовании и несуществовании, то мы говорим о существовании или несуществовании чего-то, например, объекта или идеи, и несуществование или существование одной стороны противоположности говорит о существовании или несуществовании другой соответственно. Поэтому, когда мы говорим, например, что ни одно А не есть В, то наше высказывание относится к А+ либо к А-. Ведь наша особенность состоит в том, что нами сторона противоположности принимается за целое, и мы отождествляем себя со стороной противоположности. А это значит, что если мы отрицаем явно одну сторону противоположности, то тем самым неявно мы утверждаем другую сторону противоположности, отрицая одно существование, мы тем самым утверждаем существование противоположное.
    159. Тождественно-истинное высказывание представляет собой четыре частных противоположных высказываний. Но мы, рассматривая переход от логических операторов к отношению между множествами, не рассмотрели их в связи с кванторами применительно к отрицанию операторов. Начнём с рассмотрения отрицания дизъюнкции. Очевидно, что, во-первых, здесь применяется квантор общности, то есть для всякого х, если х обладает свойством –А, то х обладает свойством –В, и для всякого х, если х обладает свойством –В, то обладает свойством –А, и, соответственно, х обладает свойством –А тогда и только тогда, если х обладает свойством –В.
    160. Соответственно, отрицание импликации для всякого х, если х обладает свойством А, то свойством –В. Как и обратно, для всякого х, если х обладает свойством –В, то он обладает свойством А. Далее для обратной импликации если х обладает свойством –А, то х обладает свойством В,, и обратно, всякий х, обладающий свойством В, обладает свойством –А. Это всё эквивалентности . Но два высказывания «если х обладает свойством А, то он обладает свойством –В, и всякий х, обладающий свойством –В, обладает свойством А, вместе соответствуют оператору строгой дизъюнкции.
    161. Сюда же относится и конъюнкция, которая гласит, что х обладает свойством А тогда и только тогда, если он обладает свойством В.
    162. В связи с этим совершенно не случайно, что конъюнкция из всех четырех операторов подобного же рода, имеющих одно истинностное значение «истина» употребляется в логике, в которой А и В оба являются положительными суждениями, которые рассматриваются в качестве истинных. А отсюда следует, что возможны четыре вида логик. Первые два вида употребляются одинаковые истинностные значения: либо «истина», либо «ложь», то есть либо только положительные, либо только отрицательные суждения. Вторые два вида- употребление противоположных истинностных значений, то есть употребляются в одном случае в качестве истинностного значения истина, в другом – ложь.
    163. Операторы относительно высказываний, имеющих одинаковые истинностные значения истина. Второе: имеющие одинаковые истинностные значения ложь. И соответственно третье и четвертое имеющие разные истинностные значения: в одном случае истина, ложь, в другом случае ложь, истина.
    164. И на практике наверняка применяются все четыре вида логик. То есть в непосредственной чувственно-практической деятельности людей. И задача в этом случае состоит в том, чтобы, с одной стороны, выяснить, в каких ситуациях применяется та или иная логика. Что же касается операторов логик, то, как представляется, они реализуются посредством соответствующих значений. Тогда, если мы примем А+, В+ для логик, которые применяют два истинностных значения истина, А+,В- - логика, которая применяет истинностные значения истина выражения истины, и истина для выражения лжи. Тогда мы получим такого рода операции для логики типа ил. А+, А-, и, соответственно, истинностные значения обычные и, соответственно, ко всем этим истинностным значениям применяются операторы отрицания.
    165. И отсюда же мы получаем множество логических формул, очевидно, говорящих о различных вещах и утверждающих различные вещи.
    166. В целом употребление истинностных значений оказывается, во всяком случае, биярусным: мы утверждаем истину, а в уме имеем её в качестве лжи, либо утверждаем ложь, а в уме имеем её в качестве истины. То есть мы говорим одно, а имеем ввиду другое, и при этом хотим, чтобы нас восприняли так, как мы хотим, хотя наша действительность совершенно иная.
    167. Тем не менее, формулы разных логик обладают одинаковой структурой.
    168. Описание таблицы логических операторов. В столбце А, В – наборы истинностных значений переменных А, В. Столбцы 1-16 – образуют возможные наборы истинностных операторов. Т.о. мы получаем 16 возможных операторов, значения каждого из которых соотносятся с наборами истинностных значений переменных А, В.
    169. Обычное правило: пишешь с утра рукой. На каком-то этапе нервные клетки устают, и весь процесс останавливается, хотя мысли есть. Тогда выходишь на прогулку и начинаешь записывать на диктофон, и получаешь продолжение работы уже в форме наговоренного. При этом ты чувствуешь, что какие-то вещи созрели, и ты их можешь выразить, а какие-то вещи не созрели, и нужно подождать, дать мозгу, т.ск., вырастить всё это дело.
    170. Определение коррупции. Коррупция – это сращивание криминала с властью. Коррупция – это подкуп криминалом власти. Вхождение криминала во власть. А если власть принадлежит криминалу, то что это будет?
    171. Индивидуализм и коррупции. Принцип индивидуализма равносилен принципу неравенства. Принцип коллективизма равносилен принципу равенства. Принцип индивидуализма – использование власти в личных целях. Вообще – использование общественного в личных целях, принцип коллективизме – это использование личного в общественных целях.