на главную страницу
визитка
темы
026.11.1763 Закон сохранения энергии
Цитируемый источник http://www.physel.ru/content/view/105/4/
В примере, разобранном в предыдущем параграфе, выяснилось, что изменение кинетической энергии брошенного вверх тела происходит только за счет изменения его потенциальной энергии и наоборот, так что суммарная механическая энергия тела не меняется. Аналогично, если на тело действует сжатая пружина, то она может сообщить телу некоторую скорость, т. е. кинетическую энергию, но при этом пружина будет распрямляться и ее потенциальная энергия будет соответственно уменьшаться; сумма упругой энергии и кинетической энергии останется постоянной. Если на тело, кроме пружины, действует еще и сила тяжести, то хотя при движении тела количество энергии каждого вида будет изменяться, но сумма потенциальной энергии тяготения тела, потенциальной энергии упругости пружины и кинетической энергии тела опять-таки будет оставаться постоянной. Энергия может переходить из одного вида в другой, может переходить от одного тела к другому, но общий запас механической энергии остается неизменным. Опыты и теоретические расчеты показывают, что при отсутствии сил трения и при воздействии только сил упругости и тяготения суммарная потенциальная и кинетическая энергия тела или системы тел остается во всех случаях постоянной. В этом и заключается закон сохранения механической энергии.
Проиллюстрируем закон сохранения энергии на следующем опыте. Стальной шарик, падающий с некоторой высоты на стальную или стеклянную плиту и ударившийся об нее, подскакивает почти на ту же высоту, с которой упал (рис. 169)1). Во время движения шарика происходит целый ряд превращений энергии. При падении потенциальная энергия тяготения переходит в кинетическую энергию шарика. Когда шарик прикоснется к плите, и он и плита начинают деформироваться. Кинетическая энергия превращается в потенциальную энергию упругой деформации шарика и плиты, причем этот процесс продолжается до тех пор, пока шарик не остановится, т. е. пока вся его кинетическая энергия не перейдет в потенциальную энергию упругой деформации. Затем под действием сил упругости деформированной плиты шарик приобретает скорость, направленную вверх: энергия упругой деформации плиты и шарика превращается в кинетическую энергию шарика. При дальнейшем движении вверх скорость шарика под действием силы тяжести уменьшается и кинетическая энергия превращается в потенциальную энергию тяготения. В наивысшей точке шарик обладает снова только потенциальной энергией тяготения.
Поскольку можно считать, что шарик поднялся на ту же высоту, с которой он начал падать, потенциальная энергия шарика в начале и в конце описанного процесса одна и та же. Более того, в любой момент времени, при всех превращениях энергии, сумма потенциальной энергии тяготения, потенциальной энергии упругости и кинетической энергии все время остается одной и той же. Для процесса превращения потенциальной энергии, обусловленной силой тяжести, в кинетическую и обратно при падении и подъеме шарика это было показано простым расчетом в § 101. Можно было бы убедиться, что и при превращении кинетической энергии в упругую потенциальную энергию плиты и шарика и затем при обратном процессе превращения упругой энергии в кинетическую энергию отскакивающего шарика сумма потенциальной энергии тяготения и упругости и кинетической энергии также остается неизменной, т. е. закон сохранения механической энергии выполнен.
Теперь мы можем объяснить, почему нарушался закон сохранения работы в простой машине, которая деформировалась при передаче работы (§ 95): дело в том, что работа, затраченная на одном конце машины, частично или полностью затрачивалась на деформацию самой простой машины (рычага, веревки и т. д.), создавая в ней некоторую потенциальную энергию деформации, и лишь остаток работы передавался на другой конец машины. В сумме же переданная работа вместе с энергией деформации оказывается равной затраченной работе. В случае абсолютной жесткости рычага, нерастяжимости веревки и т. д. простая машина не может накопить в себе энергию, и вся работа, произведенная на одном ее конце, передается на другой конец без изменения.
026.11.1764 Импульс тела
§ 49. Импульс тела.
Основные законы механики — второй и третий законы Ньютона — заключают в себе возможность решения любой механической задачи. В следующих параграфах мы увидим, что применение законов Ньютона к решению задач часто можно облегчить, применяя следующий вывод из второго закона.
Подействуем на тело массы m постоянной силой f. Тогда ускорение тела также будет постоянно: a=f/m
(49.1)
Пусть в начальный момент промежутка времени t, в течение которого действовала сила, скорость тела была v 0
, а в конечный момент этого промежутка скорость тела стала равна v. Напомним формулу (27.2), применимую для случая постоянного ускорения: a=(v-v 0)/t
Из этой формулы и из формулы (49.1) следует:
mv—mv 0
=ft. (49.2)
Произведение массы тела на его скорость называют импульсом (или количеством движения) тела. Импульс тела — векторная величина, так как скорость — вектор. Формула (49.2) выражает закон изменения импульса тела: изменение вектора импульса тела под действием постоянной силы равно произведению силы на время ее действия.
Если сила не остается постоянной, то формула (49.2) применима только для таких малых промежутков времени, за которые сила не успевает еще заметно измениться ни по величине, ни по направлению. При большом изменении силы формулой (49.2) также можно пользоваться, но в качестве F следует тогда брать среднее значение силы за рассматриваемый промежуток времени.
В случае прямолинейного движения тела формулу (49.2) можно написать в скалярном виде:
mv — mv 0
= ft. (49.3)
В этой формуле, как обычно, разные знаки величин v, v 0
и f будут обозначать противоположные направления скоростей и сил.
026.11.1764 Система тел. Всеобщий закон сохранения ипульса.
Источник http://www.physel.ru/content/view/53/4/
§ 50. Система тел. Всеобщий закон сохранения импульса.
До сих пор мы рассматривали только действия сил на одно тело. В механике часто встречаются задачи, когда необходимо одновременно рассматривать несколько тел, движущихся по-разному. Таковы, например, задачи о движении небесных тел, о соударении тел, об отдаче огнестрельного оружия, где и снаряд и пушка начинают двигаться после выстрела, и т. д. В этих случаях говорят о движении системы тел: солнечной системы, системы двух соударяющихся тел, системы «пушка — снаряд» и т. п. Между телами системы действуют некоторые силы. В солнечной системе это силы всемирного тяготения, в системе соударяющихся тел — силы упругости, в системе «пушка — снаряд» — силы, создаваемые пороховыми газами. Кроме сил, действующих со стороны одних тел системы на другие («внутренние силы»), на тела могут действовать еще силы со стороны тел, не принадлежащих системе («внешние» силы); например, на соударяющиеся бильярдные шары действует еще сила тяжести и упругость стола, на пушку и снаряд также действует сила тяжести и т. п. Однако в ряде случаев всеми внешними силами можно пренебрегать. Так, при изучении соударения катящихся шаров силы тяжести уравновешены для каждого шара в отдельности и потому не влияют на их движение; при выстреле из пушки сила тяжести окажет свое действие на полет снаряда только после вылета его из ствола, что не скажется на величине отдачи. Поэтому часто можно рассматривать движения системы тел, полагая, что внешние силы отсутствуют.
Начнем с простейшей системы, состоящей только из двух тел. Пусть их массы равны m и М, а скорости v0
и V0. Будем считать, что внешние силы на эти тела не действуют. Между собой же эти тела могут взаимодействовать. В результате взаимодействия (например, в случае соударения тел — после соударения) скорости тел изменятся и станут равными v и V соответственно. Для тела т изменение импульса будет равно mv— mv0=ft, где f — сила, с которой на него действовало тело М, а t — время взаимодействия. Для тела М изменение импульса будет равно МV — МV0=—ft, так как, согласно третьему закону Ньютона, сила, с которой тело т действует на тело М, равна и прямо противоположна силе, с которой тело М действует на тело m. Складывая оба выражения для изменения импульса, найдем:
mv— mv0+ МV — МV0 = 0;
отсюда находим:
mv + MV = mv0 + MV0, (50.1)
т. е. при отсутствии внешних сил суммарный импульс системы (векторная сумма импульсов тел, составляющих систему) в результате взаимодействия тел системы не изменяется.
Этот закон можно сформулировать еще иначе: внутренние силы не изменяют суммарный импульс системы.
Этот результат совершенно не зависит от того, как взаимодействовали тела системы: долго или кратковременно, при соприкосновении или на расстоянии и т. п. В частности, из этого равенства следует, что если вначале оба тела покоились, то суммарный импульс системы останется равным нулю и в дальнейшем если только на систему не подействуют силы извне.
Можно доказать, что и для системы, состоящей из любого числа тел, суммарный импульс системы остается постоянным, если только внешние силы отсутствуют. Это важнейшее положение называют всеобщим законом сохранения импульса. Его всеобщность заключается в том, что он справедлив не только в механике, но и для любых систем тел и любых процессов, происходящих с телами системы, при единственном условии, чтобы на них не действовали внешние силы. Тогда импульс системы сохраняется неизменным, даже если тела системы разрушаются (например, в результате соударений), если в результате химических реакций из одних веществ образуются другие, если в результате ядерных реакций из одних элементов образуются другие или одни элементарные частицы обращаются в другие элементарные частицы. При этом, разумеется, обломки разрушившихся тел, продукты химических реакций и новые элементы или образовавшиеся элементарные частицы необходимо причислять к телам системы.
Если система состоит из одного единственного тела, то для него закон сохранения импульса означает, что в отсутствие сил, на него действующих, импульс тела не меняется. Это равносильно закону инерции (скорость тела не меняется).