Математика

на главную страницу
визитка
темы

О подходе со стороны частного и общего в связи с понятием скорости.

   Обычно говорят о скорости как о чем-то постоянном и точном. Автомобиль покрыл расстояние в m км за t часов со скоростью v км/ч. При этом скорость автомобиля рассматривается как вещь совершенно точная. При этом те часы, в течение которых двигался автомобиль, не различаются между собой, как не различаются между собой и участки пути, которые преодолел автомобиль. Значит, мы имеем дело с абстракцией дороги, времени, и, соответственно, и дорога и время породили абстракцию скорости. Конкретика относится только к началу и концу процесса, то, что внутри него, это черный ящик. И т.о. полученный результат, истинный относительно целого, представляет собой абстракцию относительно внутреннего, и эта абстракция относительно внутреннего выражается в средней скорости. Наука статистика, занимающаяся средними цифрами, в этом отношении характерна. Если считать, что в обществе 10% людей живут при коммунизме а 90% - за чертой бедности, то в среднем мы получаем общество благоденствия.
   Если же мы станем рассматривать объекты реальности не с их абстрактной стороны в качестве некоторых общих понятий, а в их конкретике, то в этом случае отдельно взятый объект начнёт выступать в качестве частного случая общего понятия. И тогда та абстракция, из которой исходили, оказывается частным случаем общего понятия, и в рассматриваемом примере скорость движения автомобиля будем выступать уже не как точная скорость движения автомобиля, а как его средняя скорость, причем, понятие средней скорости будет рассматриваться как совершенно недостаточное, так как понятие средней скорости отождествляется с постоянной скоростью, а постоянная скорость - лишь частный случай скорости вообще. Т.о.рассмотрение скорости как постоянной имеет ввиду в общем случае среднюю скорость, и, соответственно, бесконечное множество рядоположенных, не связанных друг с другом скоростей.
   Отсюда получаем две противоположные точки отсчёта: исходим ли мы из частного случая - понятия постоянной скорости, либо же мы исходим из общего понятия скорости, для которого постоянная скорость является лишь небольшим частным случаем. Но для того, чтобы перейти от понятия постоянной скорости к переменной, необходимо введение понятия изменения скорости и, соответственно, скорости изменения скорости, которое, в свою очередь, порождает бесконечный ряд понятий этого рода.
    Но понятие изменения скорости порождает понятие мгновенной скорости и, соответственно, понятие скорости на участке пути как такой средней скорости, которая представляет собой сумму мгновенных скоростей, деленную на число слагаемых этой суммы. Но число слагаемых такой суммы не может быть иным, как только бесконечностью, поскольку мгновенная скорость - это скорость тела в мгновение, то есть бесконечно малую величину интервала времени.
    Отсюда мы и получаем определение мгновенной скорости в форме производной
   v = lim_∆t→0(f(t+∆t) - f(t))/∆t
   В реальности, разумеется, можно говорить о мгновенной скорости. Что такое мгновение времени? это какой-то очень маленький, очень близкий к нолю интервал времени, который, однако, никогда не становится нолем. Стремится, но никогда ноля не достигает, в ноль не превращается. Это движение к нолю оказывается бесконечным, и в силу относительности масштаба в системе величин, всё то, что нами принимается за мгновение времени, на самом деле может быть какой угодно величиной, это зависит от принимаемых нами единиц измерения.
   В силу того, что в существующей системе величин интервалов времени выделяется его бесконечно малая величина, то в качестве характеристики скорости тела сама по себе она не имеет ценности, поскольку понятие скорости имеем смысл для интервалов времени и, следовательно, в интервале времени. Ведь в конечном счете значение скорости важно не само по себе, но постольку, поскольку оно является той константой, по которой определяется проходимый путь. А это значит, что скорость, с одной стороны, должна быть мгновенной, а с другой - средней для того, чтобы мы могли определить путь, который пройдет тело на данном участке.
    Необходимо обратить внимание на то, что математика в конечном счете отражает реальность в своих моделях, и непосредственной реальностью математики как способа мышления является не реальность, а её математические модели, в качестве каковых выступает в высшей математике функции, и объектами математического исследования являются эти модели, то есть функции, которые представляют собой конструкции человеческого ума. И, значит, когда мы говорим о движении тела с математической точки зрения, мы должны раньше создать математическую модель этого движения. Т.о. если мы возьмём функцию, моделирующую движение тела, в частности, проходимый им путь, то производной от функции пути является является функция скорости. Поэтому, если мы берем функцию скорости, то всё выглядит так, что мы берем определенную точку на оси абсцисс, соответствующую времени, и значение скорости тела, соответствующее этой точке согласно заданной функции. Но скорость - это характеристика тела в интервал времени, тогда как точка на оси времени соответствует не интервалу, а нолю времени. А это значит, что и скорость тела в этом случае равна нолю. Потому-то и определение производной имеет вид отношения приращения функции относительно приращения времени с одной стороны, и, с другой, стремление приращения времени к нолю. Пока нет ноля, отношение ∆f(t)/∆t возможно. Но как только ∆t становится равным нолю, ни о каком отношении говорить не приходится и, может быть, также и в этом смысле не случайно деление на ноль запрещено. Но если мы в качестве данной имеем функцию скорости (или вообще любую производную), то отношение выражающей её кривой связано с точкой функции и точками её окрестности, бесконечно приближающимися к ней. Тогда наклон секущей, в пределе вырождающейся в касательную, будет выражать скорость (вообще - отношение в данной точке.)

     На рис.1 приведены два примера нахождения производной. Они показывают, что в обоих примерах осуществляется переход к состоянию функции в пределе, то есть осуществляется скачок от секущей к касательной. Но самым важным в этом переходе является то, что мы получаем отношение значения функции в какой-то произвольной точке аргумента в виде линейной функции. Причем, это отношение может быть постоянным, то есть одинаковым для всех точек аргумента, как в первом примере, либо переменным, индивидуальным для каждой точки функции, как во втором.
   Т.о., для каждой точки прямой аргумента функции, выражающей скорость, мы получаем значение скорости. Но таких точек - бесконечное множество, и скорость в каждой из точек может различаться. И, значит, то, что мы должны сделать для того, чтобы найти путь подобного рода функций, мы должны осуществить, по-видимому, парадоксальную операцию: мы должны умножить значение скорости на ноль, поскольку точка не обладает размерностью, и затем сложить всё бесконечное множество полученных произведений, каждое из которых равно нолю, и получить т.о. путь, который тело прошло в выделенный интервал времени.

    Обратим внимание на запись производной:
   y'=(f(x))'= lim_x→0∆f(x)/∆x = df(x)/dx = dy/dx
   Значение отношения dy/dx заключается в том, что оно принципиально является потенциальным; dx указывает на то, что принципиально оно устремляется к нолю, однако оно никогда не равно нолю, оно всегда представляет собой интервал и, соответственно, dу является функцией от этого интервала, и, т.о., dx=x_j - x_i, и, соответственно, dy=yj - y_i, где j>i.

   Технология нахождения производной, очевидно, дана. Невольно возникает вопрос о технологии нахождения интеграла. И вот тут оказывается, что интеграл рассматривается как операция, противоположная нахождению производной, в то время как обратного отношения, в котором первообразная бралась бы в качестве первичной и из неё находилась бы производная, не существует. "Регулярного способа, гарантирующего нахождение интеграла при любой функции v(t), не существует" -читаем мы у Яглома и Зельдовича в их "математике для физиков". В учебнике Пискунова понятие интеграла вводится как обратная операция относительно нахождения производной. В связи с этим возникает вопрос о причине такой однонаправленности. Другими словами, если нам дана функция, то сначала мы должны найти её производную для того, чтобы от полученной функции иметь возможность перейти обратно к ней. Чем это может быть обусловлено? Не тем ли своеобразным обстоятельством, что понятие скорости получается как производная от пути. Сначала мы берем путь, и время, за который путь пройден, и определяем скорость: s/t=v (1). А затем получаем по скорости путь: s=vt (2) Выражение (2) следует из выражения (1). Мы не можем определить скорость, не зная пути и времени, а тем самым мы не можем определить путь, не зная пути, то есть получается: s=(s/t)t, что выглядит как тавтология, но это такая тавтология, которая позволяет частный опыт перенести на общий. Действительно, если мы на частном случае определили скорость движения тела, и если нам известно, что эта скорость постоянна, то мы можем определить путь в общем случае, то есть для любого интервала времени.

   12.10.08 г.