на главную страницу
визитка
темы

3. Корни

   Принцип линейности

   В настоящем разделе будем иметь ввиду ряд целых чисел -  натуральных положительных и отрицательных  и число ноль. Существо принципа линейности заключается в том, что в результате применения операций мы будем получать объекты того же самого рода, или, иначе, типы элементов исходных и результирующих множеств будут одни и те же и характеризоваться линейным расположением (порядком).

   Базовая операция

   В качестве исходной, базовой операции рассматривается операция сложения. (В связи с этим, замечание относительно прямых и обратных операций. Под прямой операцией понимается операция, которая нечто порождает. Под обратной - операция, которая позволяет от порожденного перейти к первоначальному состоянию. Например, операция вычитания рассматривается в качестве обратной потому, что она имеет дело с порожденным, так как без сложения не может быть вычитания. Хотя, если устранить генетический подход, то с тем же успехом, по-видимому, в качестве прямой операции может быть взято вычитание.)
       Ниже операции умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня будут выражаться через операцию сложения.

   Умножение и деление. Линейные единицы измерения и многоразрядное (многоединичное) представление чисел.

   Мы уже рассматривали операцию умножения в соответствующем  разделе. Рис. 10-1 иллюстрирует принцип линейности, которым оставляются в стороне содержательные вещи, которые проявляются,  когда умножение иллюстрируется посредством дерева.
   
      Замечу, что полезную услугу дерево оказывает нам также и при операциях сложения и вычитания. Рис. 10-2 иллюстрирует, например, бюджет семьи, который образуется соответствующими взносами её трех членов. Это - сложение. При этом как отдельный член семьи, так и все члены семьи могут заявить об автономном экономическом существовании, и тогда производится соответствующее вычитание. При этом, однако, следует иметь ввиду, что вычитание совсем не обязательно осуществляется в соответствии с внесенными суммами. В этом последнем случае вычитание уже не является обратной операцией по отношению к сложению в собственном смысле слова. Мы можем представить себе и обратное отношение: существует какая-то сумма, которая разбирается членами. Например, банк, выдающий беспроцентный кредит. В результате этого "банк остался без денег, которые оказались на руках частных лиц". Мы получили в качестве прямой операции вычитание, которому соответствует обратная операция сложения - возврат банку частными лицами занятых денег.
   
   
      Рис 10-1 иллюстрирует операцию умножения, рассматриваемую как тиражирующую исходное множество. Операция умножения - бинарная операция, в которой одно слагаемое принимается за тиражируемое множество, второе слагаемое определяет число тиражируемых множеств. Т.о. операция умножения оказывается выраженной через операцию сложения. Ограничение, которое при этом накладывается на операцию умножения сравнительно с операцией сложения  состоит в том, что при переходе к её выражению через сложение все слагаемые оказываются равны друг другу.
       Но если операция умножения выполнима для любых "натуральных множеств", то обратная операция, операция деления этим достоинством не обладает. В этом смысле операция деления является обратной относительно операции умножения, если исходить из принципа, что прямой операция является тогда и только тогда, если она выполняется для любого элемента множества. Результатом деления является множество одинаковых по мощности множеств. Например, 15/5=3. Результат три - это пять множеств по три элемента. В то же самое время 15/4 не имеет решения, так как не существует четырёх множеств с одинаковым числом элементов.
      Этим недостатком не обладает операция вычитания, так как она допускает вычитание любых натуральных множеств из любых, что достигается благодаря введению отрицательных натуральных чисел: 3-5=-2.
      Итак, важным является то, что уже операция деления может выступать только в качестве обратной операции. При этом следует обратить внимание вот на что: 15/4=3³/₄. При делении мы получили остаток 3, который берется в качестве числителя, а в качестве знаменателя берется делитель, который представляет единицу, которая в данном случае равна 4/4. В этом смысле единицу элемента  натурального множества мы можем разделить на любое число одинаковых частей, получив при этом производные единицы. Например, 15/7=2¹/₇). Единица - это 7/7. Т.о., в результате деления мы получаем семь натуральных множеств по два элемента, сложение которых даст нам 14, и семь "вырожденных" натуральных множеств, которые в сумме дают единицу. Т.о., мы получаем наряду с единицами также их части, что-то в роде "два землекопа и две трети".  Но это говорит о том, что мы должны покинуть реальность "жёстких, заданных объектов и соответствующих им жестких единиц, и перейти к объектам как угодно делимым и поэтому допускающим применение произвольных единиц, и, следовательно,  переход от одних единиц измерения к другим. Возьмём отрезок, в котором избранные единицы укладываются 15 раз. Нам нужно этот отрезок разделить на 7 равных частей. Вы обратили внимание, что принцип равенства объектов у нас остаётся. Мы просто предоставили себе определенную свободу в отношении образования из одних единиц других единиц, но от нас требуется, чтобы множества, которые мы получим, содержали в себе единицы, которые укладываются целое число раз в каждом из множеств. Как мы поступаем? Мы умножаем 15 на семь, то есть число объектов на число, на которое мы должны его разделить 15*7=105, и теперь тот же самый отрезок делим не на 15, а на 105 частей. И теперь мы можем спокойно разделить отрезок на семь частей, каждая из которых будет содержать в себе по 15 единиц (объектов). Т.о., мы возвратились от рационального к натуральному множеству чисел с иными единицами измерения.
      Т.о. процесс перехода от натуральных к рациональным множествам подчиняется определенным правилам, которые оказываются непосредственно связаны с операцией деления. Натуральные и рациональные числа оказываются привязаны друг к другу.
      Значит, каким правилам подчиняется переход от натуральных к рациональным множествам? Во-первых, этот переход связан с потребностью в действии деления множеств. Во-вторых, потребность возникает тогда, когда существующие единицы деления не позволяют разделить объект на множество подмножеств, содержащих целое число этих единиц. Тогда возникает задача перехода к другим единицам, которые удовлетворяли бы этому требованию и в то же самое время  были связаны с исходными.
      Т.о., то число, на которое делится натуральное множество, становится средством перехода к единицам другого порядка. Что мы получаем? Мы исходную единицу делим на величину делителя. То есть исходной единице 1 мы ставим в соответствие множество единиц, укладывающихся в ней целое число раз. 15=1₁+1₂+ ... +1_15: ; 1_i = 1_i1 + 1_i2+...+1_i7 =1_ij, 1≤i≤15, 1≤j≤7. Если мы обратимся теперь к дереву, представляющего умножение множеств, то мы увидим подобную же картину принадлежности элементу множества какого-то множества. И в этом смысле мы можем построить ряд принадлежностей единицам единиц. Т.о. если а - какая-то единица, то а_i где i-постоянная, может рассматриваться как множество единиц, целое число раз в нём укладывающееся, а_ij, j- постоянная- единица, укладывающаяся целое число раз в единице а_i и т.д. В этом случае выражение  вида аа_ia_ij...a_ij...n представит собой многоразрядное число "с разными основаниями" в разных разрядах. Теперь для того, чтобы перейти к десятичной схеме выражения числа достаточно приравнять все основания деления единиц десяти, так что число 386, 715 представит множество единиц деления, каждая соответствующая определенному разряду: разряд сотен, десятков, единиц, десятых частей единицы, сотых частей единицы, тысячных частей единицы, с их законами связи, выражающихся в перенесении единиц, заимствований единиц из старших разрядов и т.п.
   
       Таким образом операция умножения всегда оставляет нас в сфере натуральных множеств. Операция деления даёт естественный переход от натуральных к рациональным множествам, при этом определение единицы оказывается непосредственно связано с делителем.

   Возведение в степень и корни

      

   
      Возведение числа в степень накладывает дополнительные ограничения на умножение: сомножители должны быть равны. Из рис.10-3 видно, что показатель степени указывает на число одинаковых сомножителей. Если показатель степени равен n, то получаем n одинаковых сомножителей.
      Если aⁿ, то при условии, что для всякого i, где i=1,2, ... n, а_i = a, степень числа, выраженная через сумму, выглядит так:
   aⁿ=a₁ * a₂ * ...* a_n
   a₁ * a₂ = ∑_1<i<aa = a_1,2
   a_1,2 * a₃ = ∑_1<i<a a_1,2= a_1,2,3
   . . . . . . .
   a_1,2,...,n-1 * a_n= ∑_1<i<aa_1,2,...,n-1 =a_1,2,...,n
   
      Любое натуральное число мы можем возвести в любую "натуральную" степень. Но не из каждого натурального числа можно извлечь корень соответствующей степени. Идея решения проблемы заключается в ограничениях, которые накладываются на операции умножения и возведения в степень сравнительно с операцией сложения. Поэтому мной осуществляется опыт перехода от "высших" операций к "низшим". Вообще принцип, который мной закладывается, состоит в поверке "высших", "производных" операций низшими, а в конечном счете лежащими в основании всех операций базовой операции - в данном случае операции сложения. Вот с этой точки зрения  и будет рассматриваться понятие корня. Если у нас есть натуральный ряд, то мы можем рассмотреть относительно него то, что называют корнем. Будем рассматривать корень как операцию, обратную операции возведения в степень. Ограничимся вопросом возведения натурального числа в квадрат. Тогда n²=n*n=n₁ + n₂ +...+ n_n, где n_i = n, i=1,2,...,n. Так как возведение в степень - прямая операция, то возвести в степень мы можем любое натуральное число, и в этом смысле каждому натуральному числу можем поставить в соответствие его квадрат. При этом может возникнуть впечатление, что наряду с множеством натуральных чисел мы получаем равносильное с ним множество их квадратов. Но это было бы возможно при условии, что мы создали какой-то новый ряд сущностей. Но следует различать число и то, каким способом оно получено, а точнее, каким способом осуществлен переход от одного числа к другому. Поэтому, конечно, мы продолжаем иметь дело "с одним рядом натуральных чисел", и любые наши операции дают переход от одних чисел к другим, или, соответственно, от одних множеств к другим. Т.о. 1² = 1*1 = 1 (если мы элемент 1 возьмём один раз, то получим один элемент), 2²=2*2=2+2=4, 3²= 3*3=3+3+3=9 и т.д. Другими словами, дело может быть представлено т.о., что мы, беря какие-то числа и осуществляя какие-то операции над ними, в результате этого получаем какие-то другие числа. Т.о., если нам дано число 1, то 1*2=2, 1+2=3, 2²=4, 4+1=5, 3*2=6, 6+1=7, 4*2=8, и т.д. Мы видим, что возведение в степень даёт нам какие-то отдельные, не связанные между собой числа. Теперь если брать извлечение корня как обратную операцию, то мы видим, что она не может быть применена ко всем без исключения числам натурального ряда, и мы можем не знать, возможно ли извлечение корня и какой именно степени из данного нам числа. Если же мы, тем не менее, будем пытаться это делать по отношению ко всем числам, то тем самым мы определим извлечение корня как прямую операцию, и в таком случае нам нужно иметь технологию для извлечения корня, которая должна быть обратной технологии получения степени числа. Если мы знаем, что 4 = 2², то, памятуя, что 2²=2*2=2+2, мы, зная, что показатель степени равен двум, должны будем иметь дело с двумя множествами одинаковой мощности, которой определяется число суммируемых одинаковых слагаемых, а в общем случае показатель степени определяет число одинаковых сомножителей произведения, а мощность сомножителей как множеств определяет число одинаковых слагаемых, которые получаются при каждом применении операции умножения. Благодаря этому мы можем проверить, является ли данное число числом n-ой степени, и только это даёт нам право извлекать из него корень. Например, возьмём число 27 и зададимся вопросом, является ли оно квадратом какого-то числа. Если квадрат, то мы имеем два одинаковых сомножителя. 5*5=25, 6*6=36. Следовательно, х=27^1/2 не существует. Допустим, показатель степени равен n=3. Тогда имеем три сомножителя одинаковой мощности, и число слагаемых, соответствующих отдельному применению операции умножения, должно быть равно мощности множества, представленному сомножителями. Так как степень три предполагает двойное применение операции умножения, и так как порядок применения операций при извлечении корня противоположен порядку возведения в степень, то у нас должно быть на первом этапе два сомножителя, один из которых представляет собой сумму со слагаемыми, мощность которых равна мощности второго сомножителя. Допустим, это число 1. Тогда 1*1=1≠27. Допустим, это число 2. Тогда (2+2)*2=8≠27. Пусть корень - число 3. Тогда (3+3+3)*3=27.
       Поскольку мы имеем дело с натуральным рядом чисел, нам совершенно ясно, что мы не можем извлекать корни из любых чисел, поскольку корни принадлежат числам, которые получены благодаря операциям сокращенных способов сложения. Ведь действительно, и операция умножения, и операция сложения - это не более чем сокращенные способы сложения, которые требуют для своего выполнения дополнительных условий: умножение - предполагает одинаковые слагаемые, и при умножении второй множитель всегда указывает на их число, так же как возведение в степень являет собой сокращение операции умножения, и вводит, соответственно, требование одинаковых по мощности сомножителей. Поэтому если гиперболизировать идею невозможности извлечения корня из множества чисел натурального ряда, то можно считать, что все числа натурального ряда, из которых не извлекается корень, являются иррациональными, что является, конечно, излишне грубой мистификацией, которая заключается в том, что обратную операцию начинают принимать за прямую.
   
      Но давайте и мы поступим точно таким же образом и выставим требование получения корня из любого натурального числа.
      Что такое натуральное число в принципе? Само по себе натуральное число - это далее неделимая единица. Давайте отбросим это требование и скажем, что единица может делиться бесконечно точно также, как и увеличиваться. Но что значит - "бесконечно делиться"? Разве можно актуально представить этого рода бесконечность? А потенциально? Ведь с бесконечностью как таковой в практической жизни человек дела не имеет. Значит, нужен процесс. который позволял бы реализовать потенциально любую "бесконечность", то есть иметь возможность бесконечного движения в направлении деления единицы с тем, чтобы это движение было определенным, фиксированным, чтобы мы всегда знали, о чем говорим. Поступим достаточно просто: мы разделим единицу на какое-то число частей, получим новые единицы, от которых мы всегда можем перейти к исходным, затем полученные единицы снова разделим, и этот процесс формирования единиц мы можем продолжать бесконечно. Теперь договоримся об общем основании деления всех единиц, например, равном десяти, и образуем таким образом многоразрядное число, в данном случае нам всем известное десятичное. Т.о. возникает впечатление, что числом представлена многослойная реальность единиц, своего рода система координат, позволяющая определить положение некоей реальной точки в каждом из слоёв-разрядов и тем самым иметь дело с определенным числом. Т.о. мы переходим от натуральных к рациональным числам, в которых связь между соседними разрядами осуществляется на основе приравнивания единицы старшего разряда десяти ( в десятичной системе счисления) младшего. Что в этом случае происходит с проблемой извлечения корня?
      Допустим, нам нужно извлечь квадратный корень из 2. Но из 2 корня не может быть, поскольку 2 не получено возведением в степень никакого числа. Единственное, что мы можем сделать, это взять числа, представляющие ближайшие корни, а это 1 и 4, и рассматривать их как приблизительно выражающие корень из двух, единица - с недостатком, 4 - с избытком. Что еще мы можем сделать? перейти к единицам меньшего разряда. Тогда 2^1/2 = (20/10)^1/2=20^1/2 / 10^1/2. Поступаем, как и в предыдущем случае, находя ближайший корень с недостатком для 20 и 10, получаем 4/3 = 1,1(3), возьмём теперь 200/100, получим, соответственно, 14/10=1,4, возьмём 2000/1000=44/31=1,41; т.о. мы получаем приближение к 2: , (20/10)² = 1,1(3), 200/100 = 1,4, 2000/1000 = 1,41, где 1,41² = 1,9881, что уже совсем близко к двум. Что всё это значит? это значит, что число 1, 9881 имеет корень, а число 2 корня не имеет и неоткуда ему взяться. Но 1,9881, конечно, отличается от натурального числа.
      Возьмём натуральный ряд чисел, и сделаем уточнение: в качестве единиц берем не отдельные неделимые объекты, а метрические, и в этом смысле такой     натуральный ряд чисел можно назвать метрическим. Что лежит в его основании? какая-то величина, которая принимается нами за единицу, например, какой-то отрезок на линии. Из этого отрезка мы формируем натуральный ряд чисел. Теперь обратим внимание вот на что: из какого-то числа отрезков мы можем сформировать производную единицу, мы можем определить правила, по которым будем формировать производные единицы. Например, десять единиц можно рассматривать как производную относительно избранной единицы, десять единиц производной единицы в свою очередь можем рассматривать в качестве единицы и т.д. С другой стороны, избранную единицу мы можем точно также бесконечно делить на более мелкие единицы в соответствии с тем же правилом десятков. В результате мы получим многоразрядное число в основании которого лежит избранный нами масштаб, которое представлено бесконечным множеством взаимосвязанных единиц. Т.о. мы перешли к конструкции действительных чисел - рациональных и иррациональных, причем, на деле за термином "иррациональные числа" нет никакой мистики, поскольку это всего лишь числа, которые  не получены посредством операции возведения в степень.
       Возвратимся к вычислению корня из двух. Если натуральный ряд чисел, то мы от единицы переходим к двум. Этими переходами определяется шаг дискретности. Если мы берем десятые части единицы, то процесс качественно изменяется: если представить себе движущуюся точку, то она должна пройти 1/10, затем вторую десятую, добраться до 10/10, и только теперь мы получаем единицу, которая оказывается суммой своих десятых долей. Дальнейшее движение точки даёт 1.1,  1.2 и т.д. Поэтому теперь в качестве того, какое число может рассматриваться в качестве корня 2, мы можем выбирать из множества промежуточных значений между 2 и 1. Памятуя, что за понятием "корень" стоит произведение двух одинаковых сомножителей, мы можем делить число 2 на числа т.о., чтобы в результате было получено максимальное приближение к их равенству. Например, 2/1=2, 1 меньше2, поэтому делитель должен быть увеличен. 2/1,5=1,(3), частное меньше делителя, делитель нужно уменьшать: 2/1.4=1.4. 1,4²=1,96. Если мы хотим получить большую степень приближения, мы должны ввести следующую производную единицу, разделив предшествующую на 10, и тогда отдельный шаг станет равным сотой части исходной единицы, и мы 2 можем делить теперь на 1,41 и т.д.
   
      22.07.08 г.