Друг

на главную страницу
визитка
темы

026.11.17513 Производные

Производные
1. Производные Версия первая
     Линии линейных функций различаются наклоном, однако, какой бы интервал мы ни взяли, отношение между величиной аргумента и функцией будет постоянным. Тогда как всякая кривая представляет собой синтез бесконечного множества наклонных, являющихся касательными к точкам кривой и определяемых как тангенс соответствующего угла tg α (рис.3)
  Исходная мысль такая:
     C геометрической точки зрения формулы вида s=vt, v=at и т.д. представляют собой просто линейные функции, и поэтому могут интерпретироваться одинаково, то есть выражение вида v=at может рассматриваться также как своеобразный путь, то есть v -это также с какое-то перемещение, как и выражение s=vt.
     Пусть s=vt; тогда если для всякого t`-t=∆t s`-s=∆s таково, что v = (s`-s)/(t`-t)=∆s/∆t = const, то мы имеем движение с равномерной скоростью. Но v точно также может рассматриваться как путь, который v проходит за время ∆t, то есть v=v`t: в свою очередь v` также есть путь ∆v, который оно проходит: v`= v``t. Пусть v`` = t, тогда v```=1. Отсюда получаем: s = vt = v`tt=v``tt=ttt=t³ Здесь всюду мы совершали переходы от одной равномерности к другой: равномерная скорость, равномерное ускорение, равномерное ускорение ускорения и т.д. При этом равномерное ускорение ускорения дает неравномерное ускорение, неравномерное ускорение порождает неравномерную скорость следующего порядка.
  s=vt;
  v=v`t;
  v`=v``t;
  ...
     Итак, важнейшим во всём этом являются понятия равномерности и неравномерности. Равномерная скорость – что такое равномерная? – это какая-то постоянная. Путь – вещь переменная. Но скорость- это постоянная. Что даёт нам путь как линейную функцию от времени. Если мы говорим о равномерной скорости, то значит ускорение – это постоянная. И это означает также, что путь при этом будет идти с неравномерной   скоростью. То есть сама смена скорости, то есть ускорение, равномерно, но движение в пути неравномерно. Т.о., во всяком случае на практике, мы всегда где – то в конечном счете заканчиваем равномерностью, какой-то постоянной. Например, пусть ускорение а равно 2. Но здесь, очевидно, нужно обращаться к интегрированию. Тогда получаем 2х+с, где С – это начальные условия. Теперь допустим, что у нас равномерным является ускорение. То есть ускорение ускорения равно постоянной, ускорение – это линейная функция. Скорость – это функция от t, в которой в качестве функтора выступает коэффициент пропорциональности. И т.о. получаем кt². А отсюда мы уже получаем формулу пути: s=vt=kt²t=kt³
     Что представляет собой к? Оно представляет собой признак равномерности, характеризующий высшую степень ускорения. Например, a`=6 → a = 6t → v = 6t² → s=6t³
  
     Теперь такая мысль. В математике изучение анализа начинают с понятия производной и затем переходят к понятию первообразной. В этом случае мы, получив производную функции, затем переходим к первообразной, и полученный результат должен совпадать с исходным пунктом движения. Можно видеть, что в моём частном примере движение идет, напротив, от некоторой производной к первообразной, и это движение должно дополняться противоположным движением от первообразной к производной. Исходя из принципа построения обратного действия на основе прямого, мы получаем: дано: s=kt³. Функция от t. Следовательно, она может быть переписана в виде s=kt²t, где t - аргумент функции s, а выражение кt² в свою очередь есть производная функция, которая выражает отношение s/t. То есть можно записать v = s/t=kt²Соответственно, применяя тот же приём к выражению v=kt² получаем а=v/t=kt. Мы видим, что один и тот же аргумент t появляется в выражении несколько раз. И, наконец, получаем a`=a/t=k=const. Мы видим, что в настоящем случае мы не применяли понятия предела
     Пусть s=vt, где v=const, т.е. v=s/t=const для любых значений t, откуда s=(s/t)t. А что это означает? - то, что в выражении s/t мы t можем придавать любые значения, при этом отношение меняться не будет.
2. Рассмотрим выражения: s=vt, но v=s/t, откуда: s=(s/t)t. [1] Что получается? получается, что для того, чтобы узнать s, нам нужно его знать. Мы пытаемся нечто узнать при помощи его самого. А как это выглядит на практике? Допустим, мы идём примерно с одной скоростью. В таком случае мы можем засечь часы, скажем, на минуту, и измерить расстояние, которое за минуту пройдем. Разделив пройденный путь на время, получим скорость движения в единицу времени, которую теперь можем применить к пути в целом. Т.о., что мы получили? То, что выражения типа [1] скрывают за собой движение

Производные Версия вторая.
   Запишем выражения:
1.равномерное движение
2.равномерное ускоренное движение;
3. равномерное ускорение ускоренного движения
5. и т.д.

   1. Возьмём формулу: s=vt.
   1.Движение равномерное, скорость постоянна, следовательно, функция пути от времени является линейной.
    s=kt, где к - const.
    Производная от постоянной равна нолю, чем выражается независимость скорости от времени. (рис.1а)
   2.Движение равномерно ускоренное. Скорость зависит от времени, поэтому можем записать:
   s=vt=v(t)t (рис.1b) Согласно допущению, скорость может интерпретироваться так же, как путь. Затем, скорость изменяется равномерно. Следовательно,
   v(t)=kt,
   откуда в случае равномерно ускоренного движения получаем
    s=ktt=kt²
   3.Равномерное ускорение: (рис.1с) s=vt; v(t)=a(t)t=ktt=kt²; s=vt=kt²t = kt³

   Но:
    1. s=kt; s+∆s=k(t+∆t); ∆s=k(t+∆t)-kt = k(t+∆t-t)=k∆t; ∆s/∆t=k∆t/∆t=k;
    2. s=kt²; s=k(t+∆t)² = k(t² + 2t∆t + ∆t²⁾; ∆s=k(t² + 2t∆t + ∆t²⁾ - kt² = 2t∆t + ∆t²; ∆s/∆t=k(2t∆t + ∆t²)/∆t = 2kt;
   Получается, что я исходил из производной kt, а букварь исходит из производной 2кt, или в общем случае получается, у меня производная kхⁿ= x^n-1, а в букваре knx^n-1
Обратим внимание на понятие бесконечно малой. Почему-то не задумываются над тем, что понятие бесконечно малой - относительное понятие. Нечто можно рассматривать в качестве бесконечно малой лишь по отношению к какой-то другой величине. Здесь вопрос, подобный вопросу о том, с какого момента мы множество песчинок можем называть кучей. Сколь бесконечно малой ни была бы "бесконечно малая", но относительно любой бесконечно малой можно найти по отношению к ней точно такие же бесконечно малые, и так без конца. Значит, где происходит скачок, для чего, для какой цели придумана "бесконечно малая"? Очевидно, для того, чтобы реализовать софизм, который не проявляет себя на практике. В чем он заключается? В переходе от двух (а по сути от бесконечного множества) касательных к одной:
   Обратимся к геометрическому истолкованию производной.
    Пусть на плоскости есть произвольная кривая. . Выберем на ней две точки М₀ и М₁ и проведем через них прямую. Точку М₁ сделаем скользящей и направим её в сторону точки М₀. Представим себе, что точка М₁ инерционная, а точка М₀ обладает притяжением. Тогда точка М₁, поколебавшись вокруг точки М₀, совместится с ней. При этом прямая М₀М₁... в каком положении она окажется? До тех пор, пока между точками М₀, М₁ есть минимальное, сколь угодно малое расстояние, прямая М₀М₁ фиксирована. Как только точки совпадут, она лишается ориентации на плоскости. Поэтому не говорят, что точки М₀, М₁ совпадают, но что точка М₁ неограниченно приближается к точке М₀ с любой стороны. Такую прямую называют касательной к точке М₀, Она образует угол α с положительным направлением оси абсцисс.
   С другой стороны, кривая- это какая-то функция y=f(x), точке М₀ соответствует значение аргумента х₀, точке М₁ - значение х₁, а их разность - приращению ∆х. Соответственно, значениям аргументов соответствуют значения функции, а разности значений функции соответствуют её приращения. Откуда получаем: tg α = (∆y/∆x), и при устремлении ∆х к нолю мы получаем соответствующее изменение ∆у и их отношение как значение производной.
   "Отсюда f`(x) = tg α, то есть значение производной f`(x) при данном значении аргумента х равняется тангенсу угла , образованного с положительными направлением оси координат 0х касательной к графику функции f(x) в соответствующей точке М₀(х,у)" [4.1, 72]
   Т.о., речь идет о касательной к точке на графике а на самом деле мы имеем дело с двумя точками, однако настолько близкими друг к другу, что их на практике можно принять за одну точку. Другими словами, мы продолжаем иметь дело в реальности со средней скоростью, которая может быть сколь угодно близкой к скорости мгновенной. И, значит, мы имеем дело не с актуальной, а с потенциальной точностью. Мы продолжаем иметь дело в действительности не с одной касательной, а с двумя, и не с одним углом, а с двумя, которые могут сколь угодно близко приближаться друг к другу, но никогда не могут совпасть. Так что здесь, конечно, с формальной точки зрения мы имеем дело с подменой понятий. С другой стороны, мы имеем дело с количественным изменением, которое даёт якобы качественный скачок: вместо двух разных углов α₀, α₁мы говорим об одном угле α₀.
   И еще одно. Если мы имеем две точки, то мы имеем угол наклона, определяемый этими двумя точками. Интервал между ними образован приращениями значений аргумента и функции относительно одной из двух точек. И говорят о касательной к ней. Вторая же точка, в зависимости от положения, определяет направление касательной. Для качественного различения секущей и касательной относительно последней применяется понятие предела. Поэтому об угле α касательной   с положительным направлением абсцисс, образованном т.о., и следовало бы говорить. И это было бы правдой, а выражение "касательная к точке - это сокращение, абстракция от реальности. Ибо через отдельную точку невозможно провести касательную, так как её не по чем ориентировать.

Основными понятиями анализа являются понятия предела и бесконечно малой. Их применительно к анализу связывает между собой отношение двух величин - приращений аргумента и функции при стремлении приращения аргумента к нолю. С понятием бесконечно малой связано понятие потенциального изменения, которое обеспечивает "изменение без изменения", то есть фиксацию отношения tg α. Т.о., так как рассматриваются приращения функции от приращения аргумента, то мы исходим из начальных её значений, которые при интегрировании затем проявляются в форме С.
   Имея дело с кривой, представляющей функцию, мы при приращении аргумента получаем изменения в положении касательной и, сл., угла α и отношения tg α.
   Итак, в разных точках кривой мы получаем разные наклоны касательной, которая представляет собой линейную функцию. Так, в соответствии с формулой (xn)` = nx^n-1 для у=x² получаем y` = 2x, то есть линейную функцию y=kx с к=2.
   Между тем я в моих рассуждениях получал кх, а не 2х. Другими словами, "к" мной не было определено. При этом я очевидно предполагал, что коэффициент "к" можно задавать произвольно, то есть я не использовал понятия касательной к точке, положение которой изменяется от точки к точке. С другой стороны, если рассматривать класс функций хⁿ, то очевидно, что в зависимости от значения n находится скорость изменения функции и, соответственно, "крутизна" кривых графиков функций, в качественном отношении одинаковых, но различающихся количественной стороной. Следовательно, существует связь между показателем функции и углом наклона α касательной. Возникает вопрос: какого рода эта связь? Возвратимся к функции s=vt=kt² и определим угол наклона касательной в точках 2 и 5. Мы хотим определить значение коэффициента "к" линейной функции, представляющей скорость изменения.

t	s	∆t	∆s	∆s/∆t
2	4
3	9	1	5	5
2,1	4,41	0,1	0,41	4,1
2,01	4,04	0,01	0,04	4
2,001	4,004	0,001	0,004	4

v = kt; k=v/t=4/2=2

t	s	∆t	∆s	∆s/∆t
5	25
4,9	24,01	0,1	0,9	9
4,99	24,9	0,01	0,1	10
4,999	24,999	0,001	0.01	10

v=kt; k=v/t=10/5=2
   Возникает вопрос: почему показатель степени функции "пути" становится коэффициентом линейной функции "скорости"? Обратим внимание вот на что:
0.1¹=0.1;
0.1²=0.01;
0.1³=0.001;
0.1⁴=0.0001
или
10¹=10
10²=100
10³100
и т.д.
   Мы видим, что последовательное изменение степени переменной в степенной функции изменяет получаемое значение на порядок. Но в рассмотренной нами схеме отношений пути, скорости, ускорения и т.д. имеет место именно это смещение порядка. Отношение между равномерным движением и движением с ускорениями разного порядка заключают в себе качественное различие, так как операции с линейными функциями - это операции, качественно отличные от операций с функциями нелинейными. Мы всюду видим, что в конечном счете нелинейные функции исследуются путём применения к ним линейных. То есть линейные функции являются средством, орудием, при посредстве которого исследуются всевозможные проявления действия сил, порождающих нелинейность. Для этой цели используются вспомогательные понятия - потенциальной или актуальной бесконечности, предела, бесконечно малой. Во всех этих случаях "инертность" линейной функции дополняется процессами движения, изменения. Кажется, что линейная функция представляет движение. Но это - "мёртвое движение" в противовес "живому" Всё это ведет к следующей идее, реализованной преобразованиями Лапласа и Фурье. [6.1,520-521]
  Преобразованием Лапласа называется преобразование некоторой функции вещественной переменной t, называемой оригиналом в другую функцию F(p) комплексного переменного р, называемую изображением. Оно позволяет заменить дифференцирование и интегрирование оригиналов более простыми операциями умножения и деления с изображениями.

   15.07.08 г.