на главную страницу
визитка
темы

 026.11.17431 Динамика (подходы)

1. Импульс силы
      "Для характеристики действия, оказываемого на тело силой за некоторый промежуток времени используется понятие импульса силы. Элементарным импульсом силы называется векторная величина dS, равная произведению вектора силы F на элементарный промежуток времени d: dS=Fdt. Направлен элементарный импульс по линии действия силы. Импульс S любой силы F за конечный промежуток времени t₁ вычисляется как интегральная сумма соответствующих элементарных импульсов: S=∫₀^t1Fdt. Следовательно, импульс силы за любой промежуток времени t₁ равен определенному интегралу от элементарного импульса, взятому в пределах от нуля до t₁"
      Размерность импульса силы: LMT^-1, в СИ это кгм/сек. Это значит, что под импульсом силы понимается перемещение тела массой в m кг на расстояние n метров за интервал времени t. Итак, что здесь есть: есть масса m, скажем, товарищ, тяжелый на подъём. Есть перемещение n. Но перемещение имеет ввиду начальное n₀  и конечное n₁ положения в каком-то пространстве и, соответственно, расстояние между ними n₁-n₀=n. Скажем, человек придерживался какой-то точки зрения, и перешел к другой точке зрения. И этот переход занял t секунд.
      Обратим внимание на выражение: dS/dt=F; В размерностях LMT^-1/T=LMT^-2. В связи с этим возникает потребность в понятии "количество силы", которое предполагает понятие единицы силы. В СИ это ньютон. F=LMT^-2 (1).F определяется опосредованно через LMT. Выражение (1) можно записать в виде F-LMT_-2=0, и из этого выражения можем найти выражение любой составляющей. Тогда получаем: L=FT²/М(Далее см. п.8)
      Как всё это можно представить на уровне чувства? Очевидно, что сила - это энергия, то есть вещь, которую увидеть нельзя, но которая проявляется себя в тех или иных формах движения, то есть в изменениях в положении объектов. Поэтому количественные характеристики проявления действия силы определяются через изменения положения объектов.
      Рассмотрение же сил с субъективной стороны выражается в соответствующих субъективных ощущениях прилагаемых усилий, а также усталости. Именно эта сторона дела нас и будет интересовать в особенности.
      В таком случае для нас существенными становятся понятия субъективного расстояния и времени, а также субъективных скорости и ускорения.
2. Количество движения
      Количеством движения точки называется векторная величина mv, равная произведению массы точки на вектор её скорости. Направление вектора совпадает с направлением вектора скорости. Размерность LMT^-1. Т.о., размерности количества движения и импульса силы совпадают.
      Особенностью количества движения является то, что если mv=a, то, при заданном m либо v мы, изменяя соответствующим образом величину v либо m,  можем иметь а. В субъективном плане это означает следующее. Если рассматривать свойства возбуждения и торможения как, соответственно, распределение между скоростью реакций и их силой, мы можем получить одинаковый эффект (совершать одинаковую работу). Благодаря этому  нивелируются природные данные людей, т.ск., приводятся к общему знаменателю.
3. Теорема об изменении количества движения точки
      Пусть тело с массой m движется со скоростью v и встречает сопротивление в виде пружины идеализированного динамоментра. Тогда Динамометр погасит скорость, при этом тело пройдёт какое-то расстояние и остановится.
4. Потенциальная и кинетическая энергии
      в тех случаях, когда тело, действуя на другое тело, вызывает его перемещение, а направление силы при этом не перпендикулярно направлению перемещения, совершается механическая работа. Наблюдения показывают, что при определенных условиях работа может быть совершена любым телом. Например, сжатая или растянутая пружина, действующая силой упругости на прикрепленное к ней тело, перемещает его и при этом совершает механическую работу. Может совершать работу и любое движущееся тело. Сталкиваясь с другим телом, оно действует на него силой и может вызвать перемещение этого тела или его частей (деформацию). (Здесь и ниже - из http://www-windows-1251.edu.yar.ru/russian/projects/socnav/prep/phis001/soh/sohran18.html) Т.о., имеет место разделение между телом, которое совершает работу, и телом, по отношению к которому совершается работа. Пружина перемещает тело, движущееся тело способно вызывать перемещение другого тела. Т.о., здесь налицо векторный подход. Говорится о пружине, которая благодаря возникающим в ней силам упругости способна перемещать прикрепленный к ней груз. В этом высказывании не затрагивается другая сторона дела: ведь можно сказать, что это прикрепленное к пружине тело заставляет её растягиваться.
       В субъективном плане на этот способ высказывания следует обратить внимание как на привычный человеческий подход, который все объекты делит на активные и пассивные, действующие и страдающие. И самого себя человек рассматривает как действующего либо страдающего. У человека имеет место деление своей реальности на эти две стороны и их противопоставление друг другу. Человек то предпочитает быть активным, то - пассивным в зависимости от характера страдания - положительного либо отрицательного. Т.о., это - две стратегии, которые человек противопоставляет друг другу. Итак, человек осознанно выступает либо в качестве активного либо пассивного в качестве ответной реакции на активность или пассивность другой стороны. Человек и ощущает себя в качестве действующего либо либо пассивного. Он постоянно переходит от одного своего состояния в другое: он подействовал - и ожидает ответного воздействия, которое определит характер его последующей активности. Это, т.о., форма функционирования системы с обратной связью.
      Про тела, которые могут совершать работу, говорят, что они обладают энергией. Энергией называют скалярную физическую величину, показывающую, какую работу может совершить тело. Энергия равна той максимальной работе, которую тело может совершить в данных условиях. Механическая работа является мерой изменения энергии в различных процессах. Поэтому энергию и работу выражают в одних и тех же единицах (в СИ - в джоулях). В более общем смысле энергия - это единая мера разных форм движения материи, а также мера перехода движения материи из одной формы в другую. Для характеристики конкретных форм движения материи используют понятия о соответствующих видах энергии В субъективном плане понятие энергии является существенной характеристикой человека. Прежде всего, у человека присутствует ощущение своей энергетической силы, заряженности, что ли, и он также ощущает, её количество в себе. Также, как человек и ощущает свою силу, причём, в разных областях - физической, умственной и т.п.
5. Методы физико-математического отражения
      Особенностью математического отражения реальности является её своеобразная оцифровка. Например, пусть мы имеем дело с поперечным сечением проводника, через который течет ток. Оказывается, что для описания применяется та же модель, что и для описания течения жидкости в трубе определенного диаметра. Вопрос, который ставится, это - от чего зависит количество жидкости, которое способно протечь через данное поперечное сечение за некоторый отрезок времени. Ясно, что оно зависит от величины поперечного сечения трубы и скорости течения жидкости. Совершенно то же самое и с проводником электричества: чем больше поперечное сечение проводника и чем больше сила тока, тем большее количество тока, то есть тем большее количество энергии пересечет границу поперечного сечения. Математическая модель и там и там одна и та же.
      Далее, образуются единицы, квадратные единицы, соответствующие площадям, кубические единицы, соответствующие объёмам, и т.д. И можно  ставить вопрос о том, сколько чего содержится в той или иной единице. Поэтому также и говоря о пути, скорости, силе и т.д., следует иметь ввиду общий принцип математического  моделирования реальности.
       Путь равен произведению скорости на время s=vt. При этом v=s/t. s/t - это величина пути, которое тело проходит в единицу времени. Т.о. в данном случае время оказывается мерой, своеобразным ящиком, в который помещается величина пути точно также, как в ящик помещается какое-то количество консервов или в отдельном мотке туалетной бумаги её длина. Различий здесь никаких нет. Т.о., в настоящем случае речь идёт единственно о единице времени. Хотя, подчеркивая значимость применения категории времени, мы не должны загонять себя в угол, пытаясь абсолютизировать её. Мы могли бы поступить и наоборот, и сказать, что в данном расстоянии помещается столько - то единиц времени. Общее положение состоит в том, что мы имеем какие-то качественно различные единицы, и устанавливаем, сколько единиц содержится в какой-то иной единице.
      Тогда в s=vt vt означает t "ящиков" v, в каждом из которых содержится какое-то количество единиц расстояния. Всюду, где мы имеем дело с математическим описанием физического мира, мы можем сделать это не раньше, чем установим отношение подобного рода между единицами, не будем рассматривать какие-то единицы в качестве своеобразных границ, заключающих в себя другие единицы. Поэтому не следует путать субъективное ощущение скорости, вообще характера перемещения с его математическим описанием. А, соответственно, цель, которую мы можем преследовать, состоит в переводе явлений чувственного мира на математический язык и, соответственно, обратно.
       Дальше идет своеобразное "включение ящиков в ящик".
       v может быть постоянным, но может быть и переменным, то есть в свою очередь зависеть от t: s=v(t)t, где v(t)=at. Здесь, для этого снова должно быть образовано новое отношение, притом, что "ящик" (единица времени) не изменилась. Только эта единица теперь наполнена другим содержанием.
      Теперь следует обратить внимание на следующий своеобразный обман, применяемый в математике: говорят о мгновенной скорости. Однако это понятие является не актуальным, а потенциальным, и имеет ввиду возможность сколь угодно близкого отражения мгновенной скорости посредством понятия средней скорости. Так что основным понятием остается понятие средней скорости. Именно, представим себе движущееся тело. Оно оно уже движется. Мы начинаем измерение движения тела в какой-то момент времени t₀, и в какой-то момент времени t заканчиваем измерение. Обозначим этот интервал времени как  t - t₀=∆t. Допустим, что измеряются  путь и скорость движущегося тела в начальный и конечные моменты наблюдения.  Соответственно получаем s-s₁=∆s и v-v₀=∆v
6. Любопытное рассуждение, связанное с дифференцированием функций. При всей своей очевидности и понятности в моей голове оно не укладывается. Дана функция s=t²; (s-s₀)/(t-t₀)= (t+∆t)²- t² =(t² +2t∆t+∆t²-t²)/(∆t)=2t при ∆t→0. В этом рассуждении присутствуют качественно новые моменты сравнительно с применяемым мной обыденным (чувственным, верящим лишь в то, что можно "пощупать") мышлением. первый момент, переход от левой части уравнения к правой. То есть мы оперируем с аргументом и в числителе и в знаменателе, причем, в числителе аргумент связан с функциональными операциями. Это всё очевидно, и, тем не менее, подсознание, натолкнувшись на это, останавливается в недоумении. Второй важный момент состоит в оперировании не цифрами, а буквами, то есть положены буквы, а имеются ввиду числа, но при этом не конкретные числа, а, т.ск., закономерности их изменения. И, наконец, используется понятие предельного перехода, которое само по себе также очевидно и понятно. Но наши чувства на этих вещах уже не срабатывают, здесь появляется уже опосредованность, за которой стоят чувства и которой они соответствуют или противоречат. И в результате получаются, тем не менее, вещи, соответствующие чувственным данным. Поэтому на этот способ мышления, отрывающийся от конкретики, переходящий к движению по элементам конкретики и оперирующий, однако, с получаемыми абстрактными объектами как чувственно данными, следует обратить самое пристальное внимание. Итак, этот метод состоит в том, что мы не останавливаемся на определенных объектах, но движемся по ним с соответствии с тенденциями их постепенного количественного изменения и приводящие в конечном счете к тому. что какие-то величины мы можем отбросить как несущественные. Само это движение опирается на понятие непрерывности. Одним из существенных является  понятие предельного перехода и математических операций с объектами этого рода. И, что важно, во всём этом в явном виде числа не присутствуют.
7. Предел
      Будем рассматривать определение как технологическое правило действий.
      Постоянное число а называется пределом переменной величины х, если для каждого наперед заданного произвольно малого числа е можно указать такое значение переменной х, что все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству |x-a|<e (Пискунов). Это высказывание имеет ввиду функцию х от целочисленного аргумента n
      пусть дана функция x=(n+1)/n=1+(1/n). Простой инстинкт говорит о том, что пределом функции является единица. Так как это должно быть выражено рационально, то в соответствии с определением получаем: |x_n-1|=|1+(1/n)-1|=1/n<e, откуда n должно быть больше 1/е. Например, если е=0,1, то n должно быть больше 10
      Функции от целочисленного аргумента представляют собой удобный способ построения всевозможных рядов.
      Например, в выражении х=а+(-1/2ⁿ) ясно, что число а является пределом, так как выражение  (-1/2ⁿ) стремится к нолю. Здесь метод мышления состоит в анализе стремления каких-то частей целого выражения к бесконечности или к нолю при стремлении аргумента к бесконечности.
      Переменная величина может иметь только один предел либо не иметь ни одного. Например, выражение вида 1+(-1ⁿ)+(-1/2)_n для четных и нечетных членов имеют разные пределы - 1 и 0, и поэтому говорят, что такие переменные не имеют предела.
      Понятие предела используется при определении понятия непрерывности функции. Если функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки а, то она стремится к пределу b (y→b) при х, стремящемся к а (х→а), если для каждого положительного числа е, как бы мало оно ни было, можно указать такое положительное число d, что для всех х, отличных от а и удовлетворяющих неравенству |x-a|<d, имеет место неравенство |f(x)-b|<e. Если b есть предел функции f(x)при при х→а, то пишут lim_x→af(x)=b
  
8. Правила переноса
      Многие вещи мы делаем настолько автоматически, что теряем из вида, почему мы это делаем. Правила переноса членов уравнения из одной его части в другую связаны со знаками "0" и "1" и, соответственно, операциями сложения и умножения. а+в=0 ↔ а=-в (элемент уравнения переносится в другую его часть с противоположным знаком, если он представляет собой слагаемое); а=в ↔ 1*а=в ↔ 1=в/а (Если сторона уравнения рассматривается как произведение, то сомножитель переносится в другую часть уравнения в качестве её делителя)
9. Понятие силы и понятие энергии
      Сила расходуется. Сила - это способ расходования энергии. Сила проявляется в форме энергии или, другими словами, сила есть способ количественной реализации, действия энергии. Изначально мы имеем дело с каким-то количеством энергии подобно тому, как мы имеем дело с каким-то количеством воды в бассейне. Если мы имеем какое-то количество энергии, то мерой её расходования является время. Время же характеризуется квадратурой подобно тому, как квадратурой характеризуется поперечное сечение трубы, из которой вытекает вода.
       Рассмотрим другой образ. Пусть есть водяной насос. Количество воды, которая будет проходить через поперечное сечение сопла насоса зависит от сечения сопла и давления поршня на камеру насоса с водой. Подобное имеем и в случае отношения расхода существующей энергии: понятию массы обратным образом соответствует сечение сопла, силе соответствует давление, оказываемое поршнем на воду. Вода соответствует количеству энергии.
      Проявление действия силы, когда речь идёт о перемещениях, состоит в том, что перемещение L (L=FT²/M) прямо пропорционально величине силы и квадрату времени и обратно пропорционально массе тела. То, что мы можем замерить, это перемещение тела и время.
10. Что делает сила
       Сила сообщает ускорение. Что такое ускорение?- это изменение изменения. Обычно происходящие процессы ведь есть изменение, при этом мы рассматриваем его как нечто постоянное. Мы существуем в соответствии с определенным порядком, с определенными мыслями и т.д. Когда порядок нашей жизни изменяется или когда изменяется характер наших мыслей и чувств, мы говорим об изменениях, которые на самом деле являются изменениями изменений. Понятием, которое характеризует постоянство изменений, является (постоянная) скорость. Значит, непосредственно нашим объектом являются какие-то процессы, которые мы рассматриваем в качестве постоянных. в качестве некоторого постоянного в себе порядка вещей.
       Значит, если мы наблюдаем изменения в существующем порядке вещей, то можем рассматривать их в качестве возмущений, в качестве каких-то внешних сил, которые вмешались в существующий порядок вещей. С другой стороны, процессы, протекающие по заведенному порядку, интерпретируемые нами в качестве постоянной скорости, могут рассматриваться в качестве инерции, инерционных процессов.
    
       Понятие массы есть характеристика инерционности системы: ведь чем больше масса тела, тем слабее ответные реакции тела на воздействия. Отсюда регулируемое изменение массы позволяет обеспечивать формы реакции тела на воздействия.
    
       Итак, когда речь идёт о силе, то непосредственно объектом рассмотрения становятся процессы, характеризующие вещи, а не вещь в отдельный момент времени.
    
       Что такое сила, определяемая через понятие энергии? Это скорость расходования энергии.
11. Энергия, работа, сила.
       

    1. Работа и энергия

    Понятия работы и понятие энергии в некотором отношении тождественны. Понятие работы служит характеристики действия, оказываемого силой на тело при некотором его перемещении. Работа характеризует действие силы, которым характеризуется изменение модуля скорости движущейся точки. При рассмотрении понятий основной задачей является способность перехода от них к соответствующей им чувственной реальности. Здесь понятия представляют собой своеобразные средства, позволяющие оперировать со свойствами чувственной реальности. Поэтому целью является установление отношений между понятиями и сторонами чувственной реальности, с которыми они оперируют. Во всём этом есть еще одна важная психологическая особенность: когда выделяется сложность, то она ощущается как целое, и происходит вылет из неё. Чтобы этого не происходило, необходимо выделять в чувственности отдельные стороны вплоть до уровня совпадения чувственности и понятия.

    2. Логика рассуждений из Зельдовича и Яглома "Высшая математика для начинающих..."

    Основной вопрос - это связь между понятиями пути, скорости, ускорения, силы, энергии (потенциальной и кинетической), работы, импульса силы, количества движения. При этом нужен какой-то методологический приём, который позволял бы устанавливать связи между компонентами целого. Для этого можно было бы применить категорию причинности. А если причинности - то явления и сущности. Можно начать с сущности, и задаться вопросом о её проявлениях, либо же попытаться от проявлений идти к сущности. Скорее всего, эти два противоположные движения следует рассматривать как антимиры, как параллельные, соответствующие друг другу процессы, но нигде не пересекающиеся между собой. Другими словами, мы должны начинать с двух противоположных концов и идти параллельно т.о., что каждая из сторон будет светиться в другой.
       Допустим, мы имеем дело с явлением - движением тела. Состояние покоя может рассматриваться как частный случай движения. Понятие движения относительно, поэтому оно должно рассматриваться по отношению к определенному другому телу, которое может браться в качестве начала координат. При этом нельзя упускать из вида ориентацию системы координат. Ведь рассматриваемая точка отсчёта может вращаться, и тогда будет вращаться и вся система координат. На земле это можно делать довольно просто потому, что земная поверхность образует сравнительно постоянное пространство всех находящихся в ней тел, и поэтому в её пространстве можно строить постоянную систему координат. Значит, получается, что пространство образуется на многие порядки более крупным телом сравнительно с телами, пространственные характеристики которых измеряются. Но стоит нам убрать это большое тело - и положение вещей изменяется, всё становится относительным. Пусть мы имеем два тела А и В. Мы можем соединить их координатной осью. Эти дела могут двигаться по отношению друг к другу. При этом луч, начинающийся в одном теле и пересекающий другое тело, будет сохраняться. Если мы имеем вращение одного тела по отношению к другому

12. Особенность состоит в том, что прежде измерений определяются единицы, причем, с возникновением анализа произвошел переход к переменным единицам. Действительно, s=f(t)=vt; Что такое скорость здесь: - это единица измерения, которая может быть как постоянной, так и переменной, представляя собой фунцию от того же времени или от чего-то другого. Логика этого подхода представлена Зельдовичем и Ягломом в их "Высшей математике для начинающих физиков и техников"
       Соотношения между главнейшими механическими величинами можно точно выразить только при помощи интегралов и производных. В гл. 2 мы уже рассматривали связь между пройденным путем (или положением) тела z и его скоростью v, а также между скоростью v и ускорением a: v=dz/dt, a=dv/dt (1) Обратимся теперь к соотношениям, связывающим между собой такие величины, как сила, работа, энергия, мощность. Выражения (1) представляют собой не что иное, как моментальные единицы измерения. А теперь посмотрим на дальнейший ход рассуждения:
       Рассмотрим прямолинейное движение тела вдоль оси х. Пусть сила F, действующая на тело, также направлена вдоль оси х. В элементарных курсах физики работа Л, совершенная силой, определяется как произведение силы F на пройденный телом путь Z=6—а, где а — начальное положение тела, а Ъ — его конечное положение: A=Fl = F(b — a). Очевидно, здесь повторяется положение, с которым мы встретились в случае соотношения между скоростью и путем: простая формула — работа равна произведению силы на путь — имеет место лишь в том случае, когда сила п о с т о я н н а. Если же сила на протяжении процесса перемещения тела м е н я е т с я, то весь процесс перемещения приходится разбивать па ряд отдельных этапов так, чтобы на протяжении каждого отдельного этапа силу можно было считать постоянной (это будет выполняться, если каждому этапу отвечает малое приращение времени или пути). Тогда для малого промежутка x_i пути, отвечающего i-му этапу (от положения x_i до x_i+1 тела), работа равна ∆A_i = F_i∆x_i = F_i(x_i+1 - x_i) Отсюда следует, что в общем случае переменной силы F=F (x) работа выражается не произведением, а и н т е г р а л о м: A=∫_a^bFdx. Мы считаем известным движение тела, задаваемое функцией х=х(t). Перемещение dx тела за малое время равно произведению (мгновенной) скорости v на время dt: dx=vdt=(dx/dt)dt Поэтому выражение для работы можно переписать так: A = ∫_a^b F(dx/dt)dt = ∫_a^b Fvdt, (9.1.1) где моменты времени t = a и t=b отвечают началу и концу движения тела. Произведение Fv, которое входит в эту формулу, есть работа, отнесенная к единице времени; оно называется мощностью. Действительно, в случае постоянных скорости и силы путь равен x=vt, работа равна A=Fx=Fvt и отношение работы к протекшему времени (т. е. работа, произведенная в единицу времени, или мощность) есть A/t=Fv. Обозначая мощность A/t через W, можно написать A=∫_a^bWdt (9.1.1а) Напомним, что в системе единиц СИ единица скорости есть м/с, единица ускорения — м/с². Единица силы имеет специальное название — ньютон (обозначение: Н): это есть сила, придающая массе 1 кг ускорение, равное 1 м/с²2. Ясно, что единица энергии, или работы, есть 1 Нм=1 кгм² /с²; она назыв ается джоуль (обозначение: Дж); единица мощности - 1Нм/с = 1кгм²с² - называется ватт ( обозначение : Вт)