Аксиомы или законы движения
Закон I
Всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменять это состояние.16
16 Первый закон представляет для точного перевода некоторые затруднения, именно — по отношению к словам «perseverare» и «nisi quateous». Слово «perseverare», как уже упомянуто в примечании 7, включает в себе понятие о стойкости или упорстве в сохранении чего-либо. Но, кроне того, оно может включать и понятие о длительности сохранения или пребывания, и в этом смысле оно или, точнее говоря, соответствующее ему существительное «perseverantia» употреблено Ньютоном в пояснение понятия об абсолютном времени, где сказано прямо: «duratio seu perseverantia existentiae», т. е. «длительность или продолжительность существования» Сообразно тому, какой смысл придать слову «perseverare», надо придавать и смысл словам «nisi quatenus», т. е. «ограничения в смысле времени или в смысле количества», и тогда их надо переводить или слонами: «до тех пор пока» или просто «пока» — в первом случае, и словами: «кроме того поскольку» или просто «поскольку не» — во втором. Таким образом в первом толковании первый закон можно перевести так: «Всякое тело продолжает пребывать в своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока приложенные силы не понудят его изменить это состояние». Во втором толковании этот закон можно перевести так: «Всякое тело удерживает свое состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения, поскольку оно не понуждается приложенными силами изменять это состояние».
В первом толковании будет оттенено, что одного только времени недостаточно для изменения состояния покоя или равномерного и прямолинейного движения тела, необходимо еще действие силы. Во втором — что тело лишь постольку удерживает свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, поскольку внешние силы ему в том не препятствуют. В пояснении, в первых двух примерах, как бы оттеняется второе толкование, причем в первом
Брошенное тело продолжает удерживать свое движение, поскольку его не замедляет сопротивление воздуха и поскольку сила тяжести не побуждает это тело вниз. Волчок, коего части, вследствие взаимного сцепления, отвлекают друг друга от прямолинейного движения, не перестает вращаться {равномерно), поскольку это вращение не замедляется сопротивлением воздуха. Бо'льшие же массы планет и комет, встречая меньшее сопротивление в свободном пространстве, сохраняют свое как поступательное, так и вращательное движение в продолжение гораздо большего времени.
Я позволю себе сделать следствие из первого закона, поскольку это делает более понятным его приложение к психологии.
Аксиома
Сила, приданная телу, сохраняется в теле, обусловливая его свойства
Т.о., в соответствии с принципом дискретности, применяемом при математической рационализации отражения, мы имеем как бы сумму двух вещей в одном: тело и силу как его свойства. Наряду с этой положительной частью в законе имманентно присутствует также и его отрицательная часть, именно, что взаимодействие тел заключается в силовых отношениях, в передаче сил от одних тел к другим. Итак, будем считать, что тела характеризуются силой (или набором сил), и отношения между телами заключаются как в количественном, так и качественном обмене и преобразовании сил.
Закон II
Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.
Так как поличество движения есть mv, и текущая m постоянна, то прямо пропорционально силе изменяется скорость. При этом исходим из массы как наличной существующей структуры нервной системы человека; и скорости как характеристики реакций человека на воздействия. Структура же нервной системы (масса) изменяется в процессе взаимодействия нервной системы с внешней средой.
Если какая-нибудь сила производит некоторое количество движения, то двойная сила произведет двойное, тройная — тройное, будут ли они приложены разом все вместе, или же последовательно и постепенно. Это количество движения, которое всегда происходит по тому же направлению, как и производящая его сила, если тело уже находилось в движении, при совпадении направлений прилагается к количеству движения тела, бывшему ранее, при противоположности - вычитается, при наклонности — прилагается наклонно и соединяется с бывшим ранее, сообразно величине и направлению каждого из них.
Как при формулировке, так и при пояснении второго закона, подразумевается, что продолжительность действия силы или постоянная, или одна и та же для сравниваемых сил. В непосредственной связи со вторым законом находится лемма X, в которой показывается, что в пределе для бесконечно малых промежутков времени изменения скорости тела, а значит, и количества движения, производимые силою, пропорциональны времени, пройденное же телом по направлению силы пространство пропорционально квадрату времени. Эта лемма, в связи со вторым законом и с понятием об «ускорении» в его теперешнем смысле, и устанавливает пропорциональность силы ускорению.
Здесь важное положение о простом арифметическом сложении или вычитании как действующих внешних сил, так и сил, которые характеризуют тело, так что все эти силы как бы представляют одно поле, перетекая от одного тела к другому.
Закон III
Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе — взаимодействия двух тел друг на друга между собою равны и направлены в противоположные стороны.
Аксиома Если действие равно противордействию, то оно предполагает равенство напряжений с обеих сторон. Там, где напряжение одной стороны больше напряжения другой стороны, это проявляется в возникновении движения в теле. Здесь мы наблюдаем такую же условность в структурах отражения, описывающих реальность, как и в понятиях работы и энергии.
Если что-либо давит на что-нибудь другое или тянет его, то оно само этим последним давится или тянется. Если кто нажимает пальцем на камень, то и палец его также нажимается камнем. Если лошадь тащит камень, привязанный к канату, то и, обратно (если можно так выразиться), она с равным усилием оттягивается к камню, ибо натянутый канат своею упругостью производит одинаковое усилие на лошадь в сторону камня и на камень в сторону лошади, и насколько этот канат препятствует движению лошади вперед, настолько же он побуждает движение вперед камня. Если какое-нибудь тело, ударившись в другое тело, изменяет своею силою его количество движения на сколько-нибудь, то оно претерпит от силы второго тела в своем собственном количестве движения то же самое изменение, но обратно направленное, ибо давления этих тел друг на друга постоянно равны. От таких взаимодействий всегда происходят равные изменения не скоростей, а количеств движения, предполагая, конечно, что тела никаким другим усилиям не подвергаются. Изменения скоростей, происходящие также в противоположные стороны, будут обратно пропорциональны массам тел, ибо количества движения получают равные изменения. Этот закон имеет место и для притяжений, как это будет доказано в поучении.
Следствие I
При силах совокупных тело описывает диагональ параллелограмма в то же самое время, как его стороны — при раздельных.17
17 Формулировка этого следствия представляется при теперешнем изложении необычной, и доказательство — как бы ей несоответствующим, ибо в нем предполагается, что когда тело описывает стороны или диагональ параллелограмма, то оно движется равномерно, т. е. силы на него не действуют, а теорема высказана так, что можно думать, что стороны и диагональ параллелограмма описываются при продолжающемся действии сил и притом сил каких угодно, постоянных или переменных, и в продолжение какого угодно, лишь бы во всех случаях того же самого, промежутка времени. Но необходимо иметь в виду второй закон, по которому скорости, сообщаемые разными силами тому же телу, пропорциональны этим силам и так же направлены. В то время, когда были изданы «Начала», представления скорости в виде отрезка прямой не было, почему вместо этого представления Ньютон и берет те пути, которые тело могло бы описать в течение некоторого произвольно заданного промежутка времени, и вот об этом-то времени после прекращения действия силы и идет речь в теореме. Таким образом эта теорема при теперешней терминологии составляет не что иное, как сложение количеств движения по правилу параллелограмма.
Первые слова доказательства также весьма кратки; если развить
Если тело при действии в месте А (фиг. 1) одной только силы M перенеслось бы в продолжение заданного промежутка времени равномерным движением из А в В и если бы при действии в том же месте одной только силы N оно перенеслось бы из А в С, то при действии обеих сил оно перенесется в то же самое время из А в D по диагонали параллелограмма ABCD.
Так как сила N действует по направлению прямой АС, параллельной BD, то по второму закону эта сила нисколько не изменит той скорости приближения к прямой BD, которая была произведена первою силою. Следовательно, тело в продолжение данного времени достигнет до линии BD, была ли сила N приложена, или нет. На основании такого же рассуждения, к концу того же промежутка времени тело должно находиться и где-либо на прямой CD, следовательно оно должно быть в их пересечении D. Переходит же оно из А в D прямолинейно на основании закона I.
Действия двух разных сил дают разные следствия, которые, однако, в результате совместного действия дают новое единое следствие. В этом заключается принцип синтеза независимого действия разных сил, с одной стороны, и возможности анализа синтетического действия сил.
Если рассматривать подробно их смысл, то можно бы передать его так; «сила M, действуя одна, могла бы сообщить телу в продолжение некоторого промежутка времени t0 такую скорость, что тело, двигаясь затем из точки А с этою скоростью равномерно, прошло бы в течение данного, промежутка времени Т путь АВ. Сила N, действуя одна, могла бы сообщить в продолжение того же про¬межутка t0 такую скорость, что тело, двигаясь затем с этою скоростью равномерно, прошло бы в течение данного промежутка времени Т путь АС; тогда если бы на тело действовали одновременно и совместно в течение того же промежутка времени f0 обе силы M и N, то они сообщили бы телу такую скорость, что тело, двигаясь затем с этою скоростью равномерно, прошло бы в течение данного промежутка времени Т путь AD, представляющий диагональ параллелограмма ABCD».
Вторая часть доказательства изложена подробно, и ею вполне разъясняется смысл, который надо придавать как теореме, так и не вполне ясно выраженной первой части доказа¬тельства. Можно думать, что потому и теорема и начало ее доказательства и высказаны так неопределенно, чтобы побудить читателя проследить доказательство до конца и самому восполнять краткость формулировки.
Ньютоново доказательство отнюдь не предполагает, что тело до действия сил находилось в покое, в нем также не оговорено, в продолжение какого промежутка времени силы M и N сообщали телу скорости. Этот промежуток времени может быть бесконечно мал, все равносообщенные скорости будут пропорциональны силам, а это значит, что силы M и N могут быть не только постоянные, но и переменные; в этом последнем случае надо предполагать сказанный промежуток бесконечно малым и переходить к пределу. Здесь Ньютон на этом не останавливается, но дальше, в лемме X и в предложении I, он на это обращает внимание.
Так как скорость пропорциональна действующей силе, то действия множества сил в разных направлениях дают пропорциональное изменение множества скоростей в разных направлениях. И отсюда следует, что за одной скоростью может скрываться множество скоростей. Это наглядно видно при криволинейном движении, которое является результатом сложения разнонаправленных прямолинейных движений и, соответственно, разнонаправленных скоростей.
В настоящем случае речь идет и прямолинейном действии силы. Однако следует допустить, что подобно тому, как есть равномерное и неравномерное движение, так могут существовать и силы прямолинейного и изменяющегося направления действия. То есть в самом понятии силы должно быть заложен закон изменения её направления, а также скорости и ускорения этого процесса.
Следствие II
Отсюда явствует составление силы, направленной по AD, из каких-либо двух наклоненных друг к другу АВ и BD и, наоборот, разложение любой силы, направленной по AD, на наклонные АВ и ВD. Как это сложение, так и разложение беспрестанно подтверждаются в учении о машинах18>
(законы и следствия: инерционности, действие силы пропорционально скорости и также направлено, действию = противодействие) = (инерционность, пропорциональность скорости, равенство противодействия) следствия (параллелограмм (независимость действующих сил), сложение и разложение сил)
Так, пусть к точкам M и N (фиг. 2а) колеса, взятым на радиусах его ОМ и ON в неодинаковом расстоянии от центра, подвешены на нитях грузы А и Р и требуется определить усилия, с которыми эти грузы стремятся вращать колесо.
Через центр О проводится прямая KOL, перпендикулярная к нитям и пересекающая их в К и L; центром О и бо'льшим из расстояний OL проводится круг, пересекающий MА в D (сл., OD=OL), и строятся прямые: DС перпендикулярно к ОD и АС ей параллельно. Так как ничто не изменится от того, будут ли точки К, L, D нитей прикреплены к плоскости колеса, или нет, то действие грузов будет одно и то же, подвесить ли их в точках К и L, или в точках D и L. Но если полную величину веса груза А представить линией АD, то этот вес разлагается на силы АС и СD, из коих АС, действующая по направлению радиуса ОD прямо от центра, не имеет значения для вращения колеса, вторая же сила, действующая перпендикулярно к радиусу ОD, имеет такое же значение, как если бы она действовала перпендикулярно радиусу OL, равному ОD, т. е. такое же, как вес груза Р, если его взять таким, чтобы он относился к весу А, как длина DС к DА.
Но, по подобию треугольников DАС и КОD и равенству ОD и OL, будет
DC:DA=OK:OL
следовательно, когда веса А и Р обратно пропорциональны плечам OK и OL, составляющим продолжения одно другого, то их действия равносильны, и они будут находиться в равновесии; это и есть известное свойство весов, рычага и ворота. Когда который-нибудь из двух грузов будет больше, нежели в этом отношении, то и усилие к вращению колеса будет соответственно бо
Правило рычага: при равновесии рычага плечо d1 меньшей силы F1 во столько раз больше плеча d2 большей силы F2, во сколько раз большая сила F2 больше меньшей силы F1.
Мы можем почувствовать вес, но не можем его увидеть, мы можем почувствовать действие силы, но не можем увидеть силу. Но можем увидеть плечи рычага.
Представляя геометрически плечи рычага, мы представляем видимое; представляя геометрически веса (силы), мы представляем невидимое. Возможность делать невидимое видимым связана с существованием количественного соотношения между длиной плеч рычага и приложенными к нему силами.
Пусть груз р, коего вес равен весу груза Р, отчасти подвешен на нити Np (фиг. 2b), частью же поддерживается наклонною плоскостью G.
Если провести прямые рН и NH соответственно перпендикулярно горизонтальной плоскости и плоскости G, то представив через рН направленную вниз силу, равную весу груза р, можно ее разложить на силы pN и HN.
Если плоскость Q, пересекающая данную плоскость G по горизонтальной прямой, будет взята перпендикулярно направлению нити pN и груз р поддерживался бы лишь этими двумя плоскостями, то он давил бы на эти плоскости с силами pN и HN, соответственно перпендикулярными этим плоскостям, т. е. на плоскость Q силою pN и на плоскость G силою HN. Поэтому, если убрать плоскость Q, чтобы груз натягивал нить, то так как нить, поддерживая груз, теперь заменяет убранную прочь плоскость Q, то она будет натянута с тою самою силою pN, которая раньше давила на плоскость. Следовательно, натяжение этой наклонной нити будет так относиться к натяжению отвесной нити NP, как длина pN к рН. Поэтому, если отношение веса груза р к весу груза A будет равно отношению, составленному из отношения длин рН
к pN и обратного отношения кратчайших расстояний от центра колеса до нитей подвеса pN и AM этих грузов, то их действия на колесо будут одина¬ковы, и они будут взаимно уравновешиваться, что всякий может испытать.
Груз р, надавливающий на вышеуказанные две наклонные плоскости, находится в условиях, подобных тем, как клин, коего грани и были бы эти плоскости; следовательно, можно определить соотношение между силами клина и молота, а именно, давление на грань Q так относится к силе, дей¬ствующей на клин по направлению прямой рН от веса ли его или от удара молота, как pN относится к рН, к давлению же на вторую грань G — как pN к NH.
Наконец, и сила винта найдется подобным же разложением, ибо он не что иное, как клин, вгоняемый рычагом.
Применение этого следствия весьма широкое, и благодаря этому широкому применению постоянно обнаруживается справедливость его, ибо от вышесказанного зависит все учение о машинах, разными авторами излагаемое различным образом. Пользуясь этим же следствием, легко выводятся соотношения между усилиями в машинах, составленных из колес, барабанов, воротов, рычагов, блоков, натянутых канатов и других механизмов,20 и весами грузов, поднимаемых или прямо, или наклонно, а также силы связок, приводящих в движение кости животных.