L54.00.01 Выражение непрерывности через прерывность.
1.
Что вообще означает
выражение непрерывности через прерывность?- то, что на поле непрерывности
создаются отдельные точки, и осуществляется процесс рассмотрения свойств
непрерывности опосредованно, через рассмотрение выделенный в нём точек и
отношений между ними. Так как мы однажды условились идти от конкретики, которая
может входить в разные родовые понятия, то мы и начнем с текста Пискунова
относительно теоремы об ограниченности функции. Вот его текст:
Непрерывное
вообще есть пространство какого-то рода, неважно, линейное, не линейное и т.п.
На непрерывность пространства накладывается система координат, которая
характеризуется по крайней мере двумя вещами: единицами измерения и точкой
отсчета. Единица измерения - это всегда какое-то пространственное а некотором
контексте неделимое образование. Например, линейная единица измерения
отмечается двумя точками, не обладающими пространственными характеристиками и
отмечающими начало и конец либо крайние точки линейной единицы измерения.
Точкой отсчета определяется точка, относительно которой осуществляется счет
(подсчет) единиц. Т.о., оказывается совершенно неверной трактовка, которой
геометрическое представление линии рассматривается как множество точек. Точки -
это всего лишь метки, отграничивающие единицы измерения. Пространство как
непрерывность - этого единичные протяженности всевозможного рода, и именно
они являются объектами. Точки же - всего лишь условные метки, позволяющие
различать друг от друга единицы измерения и рассматривать количественные
отношения между ними. Т.о., для того, чтобы иметь
возможность говорить о непрерывности, необходимо наложить на неё сетку,
обеспечивая тем самым операции с дискретными объектами, определяемыми каждой из
ячеек сетки как единицы. Непрерывность есть некоторая
текучесть. Накладывая на неё сетку, мы тем самым текучесть превращаем в
актуальность, однако т.к. эта актуальность представляет собой систему единиц, то
этим обеспечивается выражение текучести, опосредованное избранными единицами
измерения.
Операция возведения в степень и извлечения корня представляют собой
ограничения операций умножения и деления точно также, как операции умножения и
деления являются ограничением операций сложения и вычитания; и, т.о., в конечном
счете , видимо, всё сводится к отношению между операциями сложения и вычитания и
рассмотрению того, какая из них рассматривается в качестве первичной, какая - в
качестве вторичной; какая в качестве прямой, какая - в качестве обратной
операции. Что такое возведение числа в степень с точки
зрения операции умножения? 22=2*2;
23=2*2*2; 2*3*4
Выражение 2*3=2+2+2=3+3 операция умножения коммутативна ( и ассоциативна)
Мы можем считать, что выражение 2*3=3*2 и считать, что 2*3 означает, что 2 есть
слагаемое, тогда как 3 указывает на число одинаковых слагаемых. Выражение №*2
означает, что 3 - это слагаемое, 2 - число (количество) таких слагаемых. Здесь
очевидна симметрия, и тогда возникает вопрос, чем, какими свойствами сложения
оно обусловлено, то есть почему 3+3=2+2+2. Ведь именно так получается.
Возведение в степень, в свою очередь, представляет собой нечто подобное, именно,
23=2*2*2
Показатель указывает на число одинаковых сомножителей.
Переведем всё это в сложение. Получим: 23=(2*2)*2=(2+2)*2=(2+2)+(2+2)=-2+2+2+2
Очевидно, что правило ассоциативности, как и коммутативности, здесь также
выполняется. По отношению к возведению в степень и
извлечению корня мы можем говорить о том, что одна из операций должна
необходимым образом принята в качестве прямой, другая - в качестве обратной, и
поэтому ограничение накладываемое на обратную операцию, состоит в том, что она
может применяться только к результатам прямой операции.
Обычно мы непроизвольно склонны в качестве прямых рассматривать операцию
сложения, умножения, возведения в степень; в качестве обратных - вычитания,
деления, извлечения корня. Однако практика заключается в
том, что нами параллельно в качестве прямых применяются и одни и другие
операции, однако каждая в своём контексте и т.о., что они нигде не пересекаются
друг с другом. . Каждая из операций применяется в своей области.
Так, деление начинается в выделения частей единицы: 1/n, где n -любое число, и
не обязательно натуральное. Однако форма 1/n может рассматриваться в качестве
первичной т.о., мы можем говорить о двух аналитических вещах, умножении аn, где
а - сомножитель, n - число сомножителей. И деление 1/n; синтетическая форма
будет представлять собой уже m/n=m*(1/n)/ Т.о., рациональная дробь представляет
собой синтетическую форму, которая включает в себя операции и умножения, и
деления. Если деление начинается с разделения единицы на
части, то деление необходимо должно рассматриваться в качестве первичной, прямой
операции, и тогда по отношению к её результатам умножение будет рассматриваться
в качестве обратной операции. Например, мы делим 1/3=а; тогда обратная операция
будет выглядеть как 3а=1. Разделив 1 на 3 части, мы тем
самым получили новые единицы измерения меньшей величины, соизмеримые с исходной
единицей. Мы можем делить единицу на какое угодно количество частей, получая,
т.о., производные единицы меньшей величины; естественно что по отношению к
получаемым единицам мы, в свою очередь. можем применять деление; и в принципе
это движение может представлять собой бесконечный процесс, однако при этом все
единиц, сколько бы их ни было. в конечном счете все будут соизмеримы друг с
другом по построению. Так, например, десятичные цифры представляют собой, с
одной стороны, потенциально бесконечно движение вглубь. В этом случае
применяется одно основание деления; однако в общем случае основание деления на
каждом очередном шаге может изменяться (Основание деления - число, на которое
делится очередная единица). Это - движение вглубь. НО мы
можем и умножать единицы, а в результате будем получать новые единицы измерения,
однако все они будут соизмеримы друг с другом. Здесь
операции умножения и пр. рассматриваются с точки зрения порождаемых ими
возможных единиц измерения. Действительно, пусть 1:3=а,
а:5=b 1=3a; a=5b/ Откуда 1=3а=3*5b=15b.
жж. Аликвотные
дроби. 21=3*7 =1/3+1/7=(7+3)/21 =10/21
10/21=10/(3*7)=3/21+7/21=1/7+1/3 Числа, содержащие только
простые числа; 2*3*5=30
(2+3+5)/30=10/30=1/3+10/30+(2+3+5)/30=2/30 + 3/30 + +/30 =1/15+1/10+1/6
4=2*2=(2+2), 2*2= 2/4+2/4=1\2+1/2=1 9=3*3
(3+3)/3*3=3/9+3/9=1/3+1/3=2/3
5/12=5(1/(3*2*2))=5*((3+2+2)/12)=5*(3/12+2/12+2/12)=5(1/4+1/6+1/6)=5(1/4+2/6)=5(1/4+1/3)
7/8= 7*(1/8) =7((2+2+2)/2*2*2)=7(2/8+2/8+2/8)=7(1/4+1/4+1/4)=7*(3/4)=21/4
7/8=1/2+1/4+1/8. Но как это получено?
Итак, пусть дана
рациональная дробь m/n. Вынесем m за скобки m/n=m(1/n). Разложим n на
сомножители. И вот тут возникает один фокус. В результате по форме я получаю
аликвотную дробь. Раскладываем 8=2*2*2. Затем я делаю скачок: я от числа
перехожу к дроби (2+2+2)/2*2*2. Откуда я
8/15=8/(3*5)=1/3+1/5 мы перешли к сумме двух дробей, таких, что их знаменателями
являются сомножители знаменателя. Видимо, любую рациональную дробь можно
представить как сумму двух дробей. Во всяком случае, перед нами стоит вопрос о
формировании схему? 8/15=8*1/15. значит, в качестве единицы берется 1/15. Она
берется 8 раз. Значит, дополнением к ней имеем 7/15 Можно сказать, что со
всякому натуральному числу соответствует дробь, образованная указанным мной
способом. 35=5*7=1/7+1/5=(5+7)/5*7=12/35.
Итак, какое бы число мы ни взяли, ему будет соответствовать некоторая дробь,
знаменателем которой будет это число, а числителем - сумма сомножителей этого
числа.
5/6=5/(2*3)=1/3+1/2 =(3+2)/6=5/6
080812
12. 7 хлебов нужно рассматривать как одну целую единицу.
13. Любое математическое выражение, например, дробь, там,
где речь идет о приложениях, это не только количество, но и качество. Поэтому
7/8 это семь хлебов, которые разделены на 8 человек.
14. Если непонятно, то попробуй найти что-то подобное.
Например, 50 рублей разделить на 8 человек. Это - разница в качественном
отношении. Но: 16 хлебов разделить равномерно между 8 людьми. Каждому человеку
достанется два хлеба. Здесь всё понятно. 8 хлебов разделить на 8 человек.
Получится: один хлеб будет ставится в соответствие одному человеку. И,
соответственно, получится семь восьмых хлеба на человека. А что такое 7/8 хлеба
на человека? Или, другими словами, из каких частей хлеба состоят эти 7/8? Это,
во-первых, половина хлеба, а вместе это 3/4 хлеба. И это восьмушка хлеба. Или
попробуем рассуждать иначе. Что такое хлеб отдельно взятый? Мы можем сказать,
что он состоит из какого угодно числа частей.
15. Следующий момент: что означает выражение: разделить 7
хлебов между 8 людьми? У нас есть два типа объектов - хлеб и люди. Что является
целью? Или: что мы должны получить в результате? В результате мы должны получить
отношение соответствия между каждым и людей и хлебами.
Что такое единичные дроби? В числителе у них стоит единица, которая
делится на какое-то количество частей, и т.о. мы получаем новые единицы. Если
при этом числитель не единичный, то речь идет о количестве этих частей, то есть
о сумме, в которой число слагаемых равно значению числительного. Например, 8/15=
8*(1/15)=1/15+1/15+1/15+1/15+1/15+1/15+1/15+1/15. С другой стороны,
8/15=8/(3*5)=(3+5)/15)= 3/15+5/15=1/5+1/3. В этом смысле, если мы имеем какую-то
дробь, то мы можем сравнить её числитель и знаменатель с точки зрения,
согласно которой числитель представляет собой сумму, а знаменатель -
произведение одних и тех же чисел.
Последовательный
подход. Пусть дана дробь 7/8. 8=2*2*2=23
Будем осуществлять последовательное дихотомическое деление. 7/8 больше половины,
поэтому мы можем записать 1/2, которая принадлежит 7/8. оставшаяся половина, в
свою очередь, содержит половину, которая, будучи половиной половины, по
отношению к целому представляет собой четверть. Записываем 1/22.
Оставшаяся часть представляет собой половину половины половины, то есть 1/23
Получаем 7/8=1/2+1/4+1/8
Всякое число является либо простым либо разлагается на (представляет собой)
произведение простых чисел. Со всяким таким числом может быть сопоставлена
дробь, числитель которой представляет собой сумму сомножителей числа в
знаменателе, откуда получаем переход к сумме единичных дробей. Так, 15=3*5,
откуда (3+5)/3*5=8/15. Допустим, число является простым, тогда какая дробь, если
она существует, ему соответствует?
Дано: 7/8. Что
такое 7? Это 7 единиц.(рис. 1) Что значит разделить 7
на 8?. Это значит каждую из 1 - 7 единиц разделить на 8 частей. Мы имеем 7
хлебов. Это объекты некоторого рода, некоторого качества и, соответственно, это
единицы измерения От каждой единицы мы забираем одну восьмую часть, из
множества который получаем восьмую единицу. Т.о., единичные дроби, то есть
дроби, имеющие в числителе единицу, представляют собой сторону дроби вообще.
Допустим, 7 хлебов нам нужно разделить на 10 человек. . Делим каждую единицу
числителя на 10 частей. Что такое 7? 7=1+1+1+1+1+1+1,
откуда 7/10=(1+1+1+1+1+1+1)/10=1/10+1/10+1/10+1/10+1/10+1/10+1/10. Каждая
единица делится на 10 частей. Единицы здесь объекты, 10 - конкретное действие
деления каждой единицы на 10 частей. 10=2*5;
Откуда1/2+1/5=5/10+2/10=7/10
7/12.
12=2*2*3.(2+2+3)/12=7/12
7/8. Каждую из 7 единиц
разделили на 8 частей; Всего частей получили 7*8=56. Теперь. чтобы разделить 7
хлебов на 8 человек, мы 56:8= 7 частей. . Каждый человек получит по 7 частей
хлеба.
С другой стороны, 7/8 включает себя половину, то есть 1/2
хлеба. Они включают также в оставшейся части половину, то есть 1 4. И, наконец,
в оставшейся части включает половину, то есть одну восьмую. Получаем
7/8=1/2+1/4+1/8.
Всякому натуральному числу
соответствует рациональное число в виде дроби, числителем
которой является сумма сомножителей (сумма простых чисел), произведение которых
представляет знаменатель дроби.
Под аликвотными
числами понимаются дроби (рациональные числа) выраженные через сумму единичных
дробей.
4-1
Чистый текст 1.Единичные
дроби - дроби, числителем которых является единица 2. Под аликвотными числами понимаются дроби (
представляющие рациональные числа), выраженные через сумму единичных
дробей. 3. Простое число - число, которое делится только на
единицу и на самое себя. Число 2 - простое число. Единица не является простым
числом. Числа, представляющие собой произведение простых, называются составными. 4. Обыкновенные или простые дроби - запись рационального
числа в виде отношения двух натуральных чисел m/n. 5. Каждое натуральное числа есть либо простое число, либо
представляет собой произведение простых чисел. 6. Всякому составному
натуральному числу соответствует рациональное число в виде дроби, числителем
которой является сумма слагаемых чисел, а знаменателем - их произведение.
Всякому простому числу соответствует единичная дробь, знаменателем которой
является это простое число.
Например, 4=2*2 → (2+2)/2*2 → 2/4+2/4=1/2+1/2
6=2*3 → (2+3)/2*3 =5/6
8=2*2*2 → 6/8=3/4 (Здесь одна и та же сущность выражается
разными способами.
9=3*3 → 6/9=2/3
10=2*5 → 7/10
12=2*2*3 → 7/10
14=2*7 → 9/14
15=3*5 → 8/15
16=2*2*2*2 → 8/16 = 1/2
18= 2*3*3 → 8/18 = 4/9
20=2*2*5 → 9/20
21=3*7 → 10/2
22+2*11 → 13/22
24 =2*2*2*3 → 9/24=3/8
25 = 5*5 → 10/25 = 2/5
26 = 2*13 → 15/26
27 = 3*3*3 → 9/27 = 1/3
28 = 2*2*7 → 11/28
30 = 2*3*5 → 10/30 = 1/3
Мы видим, что разным натуральным числам могут
соответствовать одни и т.е же дроби.
Пример нахождения аликвотных дробей из простых.
Дано: 5/12. 12=4*3 →(4+3)/12. 5/12=7/12 - 2/12. 7/12 =
2/12+2/12+3/12=1/6+1/6+1/4; 2/12=1/6. 5/12=1/6+1/4
5/12; 12=4*3; 7/12=1/4+1/3; 7/12-5/12=2/12; 5/12=7/12-2/12
5/12=1/3+1/4-1/6=
Дано: 11/12 =7/12+4/12=1/6+1/6+1/4+1/3=2/3+1/4
Дано: 5/121 121=11*11 (11+11)/121=22/121 5/121= 22/121 - 17/121=
1/11+1/11 -17/121
Уравнениями выражается единственная вещь - отношения между числами.
Понятие функции из этой же области.
Пусть дана дробь. Самое первое действие - превратим её в простую дробь
Например, 9/15; 3/5-3/6=1/10; 9/15=1/2+1/10
Всякое натуральное число есть простое число или составное. Составное
число представляет собой произведение простых, в частном случае - степень
простого числа.
31 - простое число. 31=30+1, откуда
(30+1)/31=((2+3+5)/30+ 1/31=1/6+1/10+1/15+1/31
Как можно полученный результат проверить?
Дано: 5/121
5/121 = 10/242 =
242 = 2+11+11 →(2+11+11)/242=24/242=2/242 +
22/242 = 1/11 + 1/121.
10/242 = 24/242 - 14/242 =1/11 + 1/121 - (14/242
= 11/242 + 3/242=1/22 + 3/242 = 2/242 + 1/242 =1/121 +1/242
=1/11 +1/121 - 1/22 -1/121 - 1/242 =1/11 - 1/22 -1/242 =
(22-11-1)/242=(22-12)/242 =10/242 =5/121Это - решение с вычитанием.
То есть мы выделили
часть, а затем уменьшили её. Как от вычитания можно перейти к сложению (
добавлению)?
Если 1.11, то дополнением до 11 к ней будет 10.11.
5/12
х/12=(4+3)/(4*3)=7/12; х=7 Если простое число в степени, то берется его
степень. Здесь 22=4
(4+3)/12=(5+2)/12 (если от одного слагаемого отнять, а к другому
прибавить одно и то же число, то сумма от этого не изменится.)
5/12=7/12-2/12=(7-2)/12= Если к уменьшаемому и уменьшающему разности прибавить
или отнять некоторое число, то разность не изменится.
Итак, единицу числителя мы разделили на 12 частей.
Числитель при этом утверждает, что мы имеем х единиц. Что мы делаем. мы берем
каждую единицу, и выделяем в ней число частей, равному числителю. Что в
результате этого мы получаем. Как мы рассуждаем. Пусть мы выделили 5 частей, то
есть 5 12. Числу 12 соответствует 7 частей, и мы получаем, соответственно,
1/3+1/4. Если мы 12 разделим на три, то получим 4 клеточки, и для того, чтобы
получить 7/12, мы должны к 4 клеточкам добавить еще три клеточки, а чтобы
получить 5/12, нужно добавить одну клеточку, то есть 1/12. Следовательно,
5/12=1/3+1/12. Если возьмём другой сомножитель, входящий в число 12, то получим
1/4+2/12=1/4+1/6, то есть к 3 клеточкам мы прибавляем 2 клеточки.
Если этот пример мы рассматриваем в качестве образца действий, то в
дальнейшем он и должен по отношению ко всем числам использоваться в качестве
образца, доказывая тем самым свою универсальность.
5/121; 10/242; 5/11 - несоизмеримость. Разделим обе части дроби на 11;
Получим (5/11)/11. Здесь уже другая идея - переход от натуральных чисел к
рациональным. То есть у нас есть знаменатель 11, поэтому делим единицу (5/11) на
11 частей. Затем каждую из полученных единиц снова делим на 11 частей, и в
полученных единицах берем 5 элементов. Но 5 несоизмеримо с 11, так как не
укладывается в 11 целое число раз, так как 11:5=2,2.
И число 5, и число 11 - простые числа. Особенность простых чисел состоит
в том, что они несоизмеримы друг с другом непосредственно, то есть 5 в 11 целое
число раз не укладывается. Но они укладываются в числе, которое представляет
собой их произведение. 5*11=55.. Чтобы дробь 5/11 не изменилась, умножаем обе
части дроби на одно и то же число -5, получаем 25/55. 25/55= 5*11, поэтому
(5+11)/55=16/11 =1/11+1/5.
Примеры из
Сентябова
Дано: 2/7. Поставим себя на место древних египтян. Нам дана дробь 2/7 Для
наглядности мы можем нарисовать ленту из 7 окон (кадров), перенумеровать окна
слева направо, и заштрихуем первые два окна. Эта последовательность действий по
созданию объекта и действиям с ним назовём лентой. Очевидно, что длина ленты
представляет знаменатель дроби, а заштрихованные окна - её числитель. Теперь в
качестве древнего египтянина нас интересуют единичные дроби, которые равны
данной дроби. Так как лента =7, то если мы возьмём 1/4 этой ленты, то каждая из
единиц одной четвертой будет меньше двух единиц ленты, так как равенство имело
бы место при длине ленты L=8. Т.к. 2/7>1/4, то 2/7=1/4+х, х=2/7-1/4=1/28. Откуда
2/7=1/4+1/28. Но что представляет собой 1/28? Для того, чтобы получить
1/28 мы должны взять ленту 7, и каждую единицу в ней разделить на 4 субъединицы.
Т.о., можно говорить о последовательности наших действий, связанных с
формированием единиц. Вначале мы имеем некоторое целое - ленту, разделенную на 7
одинаковых единиц. Затем мы от 2/7 отнимаем 1/4. Но 7 не делится целое число раз
на 4, и в то же самое время 2 единицы есть единицы, полученные делением ленты
как исходной единицы на 7 равных частей. Если теперь мы образуем вложенные
единицы, разделив каждую единицу от 7 на четыре равные части, то нами будет
получено всего 28 субъединиц, и 1/28 будет равна одной такой единице, тогда как
2/7 будут равны 8/28. Итак, как мы действуем. У нас
изначально существует лента длины L. Мы делим эту ленту на 7 равных частей и из
них берем две части, что выражается рациональной дробью 2/7. Затем мы ставим
перед собой задачу выразить рациональную дробь через сумму единичных дробей.
Спросим себя, что такое единичная дробь. Например, 1/7 - это единичная дробь.
Что собой она представляет? Она представляет собой единицу измерения, которая
получается при делении ленты исходной единичной длины Lна число
n. То есть L/n=a, откуда
получаем аn=L. Затем мы взяли 2 единицы от 7 и
прикинули, какую часть длины с недостатком
L занимают 2/7 и видим, что
это 1/4. И мы делим L на четыре части. 1/4<2/7?
и недостающая часть х=2/7-1/4. Единицы, полученные при деление
L на 7 и на 4 - это непосредственно несоизмеримые
единицы, поскольку ни одно из них в другом не укладывается целое число раз, и
непосредственно мы не можем использовать ни единицы от деления на 7, ни единицы
от деления на 4. Нам нужны какие-то третьи единицы измерения, которые будут
укладываться целое число раз и в единицах от 7, и в единицах от четырех.Для этой цели мы можем либо всякую единицу от 7 (делений
L) разделить на четыре, тогда L=28
единицам, либо единицы от 4 разделить на семь, и тогда получим точно такие же
единицы, укладывающиеся в
L 28 раз После чего можем выразить единицы от 7 и от 4 делений через единицы от 28
делений одной и той же исходной единицы L (cм. рис. 2)
Дано: 2/19. Ищем ближайшую аликвотную дробь с
недостатком. Если
L=19, то 2 в 19 содержится 19:2=9,5,
поэтому если мы разделим 19 на 10, то получим единицу измерения, меньшую, так
как в этом случае L принимается равным 20. Отсюда:
2/19 = 1/10 + х. х=2/19-1/10=1/190. Итак, 2/19=1/10+1/190. Для того,
чтобы не ошибаться, нужно придерживаться формы движения.
Дано 5/31. 5 содержится в 31: 31:5=6,2 Lразделена на 31 часть. Ближайшая
меньшая часть 32. Очевидно, что чем ближе будет взято число к 31, тем меньше
будет остаток и тем больше будет знаменатель дроби. С другой стороны, чем более
мелко будет разделено, то есть чем на большее число частей будет разделено
L, тем, в общем случае, больше будет единичных дробей.
Проделаем эксперимент для 32 и 35. Разделим L на 32. (Здесь совершенно непонятно, почему и к.о. меня
понесло совсем в другую сторону. Чтобы указать на неправильность пути? Для
того, чтобы не ошибаться, нужно придерживаться уже существующего пути.
Здесь ошибка, видимо, состоит в том, что я не вкладываю одни единицы в другие, а
рядополагаю их Нам просто нужно найти, какую меньшую часть
LLзанимают 5
31. Для этого я могу L разделить на 32, тогда 1/32
< 1|/31,и, соответственно,
5/32 будет меньше Снова 5/31. Нужно
брать 1/7 часть в
L, то есть нужно L разделить на 7 частей, так
как тогда 1/7<1/6,2, и мы получаем
5/31-1/7=((5*7)-(1*31))/217=3/217. Подобного рода движение может
быть сколь угодно длинным
Сентябов говорит: "Разложения по
приведенному алгоритму характеризуются тем, что первая в разложении дробь -
ближайшая аликвотная дробь к данной дроби" (
)
и не доводит решение до конца, поскольку с практической точки зрения получаемый
т.о. результат не может представлять практической ценности. Любая формализация
связана с ограничениями. На самом деле критерий "аликвотная дробь должна быть
ближайшей к данной к данной дроби" является критерием ограничивающим и, скорее
всего, возможны случаи бесконечного применения алгоритма. Критерий должен быть
модифицирован: разумеется, желательно, чтобы первая в разложении дробь была
ближайшей к данной, но в качестве требования должно выступать требование
минимального числа слагаемых в аликвотной дроби, что достигается постепенным
уменьшением первой дроби относительно данной. Тогда для примера 5/31
имеем: Так как 1/7 не ведет к быстрому решению, берем 1/8, получаем:
х=5/31-1/8=1/31+1/248, откуда 5/31=1/8+1/31+1/248.
По
формуле Сентябова мы получили бы: Дано: a/b; b=ak+r. Т.о., мы начинаем с того,
что накладываем связи на отношение между а и в, и при этом определяемые т.о.
связи могут быть различными, следовательно, предварительное наложение связей
есть одновременно также и наложение ограничений.
a/b=1/(k+1) + (a-r)/b(k+1). Итак, наложением связей определяется
бесконечное множество возможных решений. Теперь нас может интересовать, каким
образом строилась формула. Это - вопрос о вообще принципе построения формул.
Что такое выражение b=ak+r? Это установление определенной линейной
зависимости b от a. А если это так, то что это означает? Что нам дано? Нам даны
b и a, и это. Изменяются k и r,
при этом они для данной дроби являются взаимозависимыми, так как, определяя одну
переменную, мы тем самым определяем другую. Постоянные - bи а. У нас две переменные.
Придавая значения одной, мы тем самым определяем значение другой. Т,о.,
r = b-ak;
k=(b-r)/a
Пусть дана
дробь m/n. Тогда отношением n/m выражается часть, которую занимает дробь в
единице, то есть 1/(n/m)
Обычная дробь представляет собой деление целого на множество частей
(знаменатель), которые начинают выступать в качестве более мелких, соизмеримых с
исходной единицей, единиц. И в числителе указывается количество этих единиц.
Т.о., мы имеем дело с двумя разными единицами. Во втором случае в качестве
единицы выступает исходная единица, и речь идет о её части. (а/в)/с=а/(вс).
а/(в/с)=с/(ав). Дробь вида 1/(n/m)=m/n. Т.о, мы
получили две разные формы выражения одного и того же. Хотя величины при этом и
одинаковы, смысл каждой из этих величин различен. Деление знаменателя на
числитель есть дробное число за исключением случаев, когда знаменатель есть
степень числителя. И весь вопрос сводится к переходу от дробного знаменателя
к сумме дробей с натуральными знаменателями. Причем, этот процесс должен в
конечном счете приводить к аликвотным дробям.
Рассматриваем отношения двух простых чисел. "!" -"должно
быть". Дано: 3/5=m/n. 3/5!>1/k Пусть k=m. Тогда
3/5-1/3=(9-5)/15=4/15=3/15+1/15=1/5+1/15; 3/5=1/3+1/5+1/15
Рассматриваем дроби вида (n-2)/n где n- простое число [3<n] Дано 5/7.
5/7=1/2+х. х=5/7-1/2=3/14=2/14+1/14=1/7 + 1/14; 5/7=1/2+1/7+1/14
Дано 7/9; 7/9-1/2=(14-9)/18=5/18=3/18+2/18=1/6 + 1/9;
7/9=1/2+1/6+1/9
Дано 9/11: 9/11-1/2
Итак
, 1/2 - максимальная
величина, которую можем взять. Но: возможен принцип постепенного снижения уровня
дроби. Например, 9/11-4/5=1/55. 9/11=4/5+1/55; 4/5-3/5=1/5; 4/5=3/5+1/5;
3/5-1/2=1/10; 9/11=1/2+1/5+1/10+1/55
13/15 Если знаменатель - число простое, то его можно сделать составным,
как в предыдущем случае. Затем знаменатель разлагаем на сомножители и получаем
новую дробь, автоматически преобразующуюся в аликвотную. 15=5*3→(5+3)/13=8/13=1/5+1/3.
13/15-8/15=5/15=1/3; 13/15=1/3+1/5+1/3=1/5+2/3; 2/3-1/2=1/6; 13/15=1/2+1/5+1/6=(6+5+15)/30=13/15
15/17; 15/17=30/34; 34→2*17 →
(2+17)/34=1/2+1/7=19/34; 30/34-19/34=11/34
!!/34-1/4=(22-17)/68=5/68=(4+1),68=1/17+1/68; 15/17=1/2+2/17+1/68;
2/17 - 1/9 (берем знаменатель на 1 больше, то есть 2/18, сокращение дает
1/9)=1/153; 15/17=1/2+1/9+1/68+1/153
29/30. 30-составное число с сомножителям простыми и
составными 2,3,5,6,15, 10. Разбиваем 29/30 на сумму дробей, которые подбираем, и
в зависимости от подобора получим разные, но равные результаты.
29/30=15/30+10/30+4/30=1/2+1/3+2/15; 2/15-2/16 (=1/8) =1/125. Итак,
29/30=1/2+1/3+1/8+1/125 Другой вариант
разложения:29/30=1/5+1/6+3/5; 3/5-3/6(=1/2)=1/10. Получаем
29/30=1/2+1/5+1/6+1/10
Простые числа не следуют непосредственно друг
за другом. Поэтому прибавление единицы к знаменателю даст составное число, если
знаменатель был простым, и прибавление к знаменателю единицы может дать простое
число, если знаменатель был составным, так как за составным числом может
следовать как простое, так и составное. То, что прибавление к простому числу
единицы порождает составное, связано с тем, что все простые числа - нечетные.
Прибавление к нечетному числу единицы преобразует его в четное, то есть
делящееся на 2, и, следовательно, составное.
Идея
переворачивания дроби. Пусть дана дробь. Перевернуть её, произвести над ней
какие-то операции и затем перевернуть её снова. Эта мысль связана с идеей
симметричности дробей.
Например, 1/2 означает, что
существует единица, которая делится на две части. Теперь 2/1 означает, что
берутся две единицы. Т.о. и получаются целые числа. Что такое 3/4? Это означает,
что некоторая единица делится на четыре части и затем берутся из них три части.
Теперь пусть дано 4/3. Это означает, что некоторая единица делится на три части,
каждая из которых выступает в качестве единицы - меры исходной, и берутся четыре
новых полученных единиц. И если 3/4 и 4/3 - противоположности, то возникает
вопрос, возможно ли оперировать с одной стороной противоположности с целью
определения результатов другой стороны.
Аликвотные
дроби похожи на взвешивание какого-то веса на весах. Заданный вес - это та
единица, которую нужно обеспечить. Берется какое-то количество с недостатком
относительно этой единицы. Затем добавляется какое-то количество. Если
недостаток - снова добавляется. И всё это до тех пор, пока не будет получен
нужный весь.
Пусть дана какая-то рациональная дробь.
Она-то и представляет собой единицу, которую нужно взвесить.
Еще одна идея. Пусть дано какое-то целое число. Относительно него можно говорить
2/1, 3/1 и т.д. Говоря 2/1, 2/2, 2/3, мы тем самым делим это число на
соответствующие части. С этой точки зрения может рассматриваться также и
рациональная дробь. Например, 3/4. Например, 3/1 - мы берем 3 как целое. 3/2 -
мы берем половину тройки; 3/3 - мы берем третью часть тройки, поскольку тройка
рассматривается как целое, как единица. Мы берем 3/4, 3/5 и т.д.
Например, 3/4; Если мы перевернём дробь, то получим 4/3. При этом относительно
этих двух дробей должна существовать линия симметрии, именно, 3/4 - это 1/4 -
недостаток до единицы. 4/3 - это избыток 1/3 относительно единицы. 4 и 3 - это
разные единицы, если речь идет о делении ими одной и той же единицы. Цель -
формула перехода от одной стороны противоположности к другой.
Дано 27/29. 1:27/29=29/27; 1:29/27 = 27/29. Деление
единицы на рациональную дробь меняет в ней местами числитель и знаменатель.
Дроби, в которых числитель и знаменатель одной дроби равны соответственно
знаменателю и числителю другой, называются обратными относительно друг друга.
Обратим внимание на следующее: пусть дано 3/5 : 4/6 При делении 4 идет в
знаменатель, 6 - в числитель, и рассматривается произведение
(3*6)/(5*4)=(3/5)*(6/4). Итак, 3/5 : 4/6 = 3/5 * 6/4, то есть деление
числа на прямую дробь равно его произведению на на обратную. Так как любое целое
число может быть представлено в виде дроби, например, 2=2/1, то можно говорить о
прямых и обратных числах вообще, и утверждать, что деление (умножение)
некоторого числа А на число В равносильно умножению (делению) числа А на число,
обратное В, то есть 1/В. А*В = А : 1/В
1-27/29
= 2/29; 29/27-1=2/27; 1-29/27=-2/27; 1-45/71=26/71;
71/45-1=26/45; 1-71/45=-26/45. Числители при вычитании из единицы
одинаковы, тогда как знаменатели противоположны.
Введем определение
Применяемые приёмы. 1. m/n= m/(n+1) + m/n(n+1)
Применяется чаще всего, если знаменатель
- простое число. 2.m/n = m/(n= ab...r, где
а,б,..к сомножители)=(а,b,... L)/n, где L=m-(a+b+...)
чаще всего, если знаменатель - составное число
3.
разложение исходной
дроби на сумму дробей. Например, 23/25=20/25+3/25
4 Так как максимальная выделяемая аликвотная дробь равна 1/2, , то
последовательность при выделении 1/2, это 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 и т.до ТО есть
если перед этим был знаменатель 2к, то при
следующем выделении знаменатель будет 2к+1.
Применяется, если дробь больше 1/2, если меньше, то применяется соответствующая
степень 2.
Ещё:
Начинаем процесс нахождения аликвотных дробей с их сокращения, поелику это
возможно. Отсюда следует, что всё множество сокращаемых дробей имеют одинаковые
множества аликвотных дробей, если иметь ввиду, что одну и ту же простую, то есть
не сокращаемую и меньшую единицы, дробь можно выразить посредством различных
аликвотных дробей. Основной приём - разложение дроби на равную её сумму дробей.
Причем, если знаменатель дроби представляет собой простое число, то начинаем с
разложения дроби. Если знаменатель - составное число, то применяем формулу
m/n=m/(n+1)+m/(n(n+1))=(m/(n+1))(1+1/n)
(а)
Примеры: 27/42 Начинаем с
сокращения дроби, поелику это возможно: 27/42 = 9/14. Знаменатель 14 -
составное число с множителями 2, 7. Начинаем с максимально возможного множителя
или, в общем случае, их частичных произведений, включающих в себя лишь часть
множителей, на которые разлагается составной знаменатель, меньший
числителя, и затем дополняем его недостающими до числителя членами, стремясь к
минимальному числу образуемых дробей. 9/14=7/14 + 2/14=
1/2 + 1/7
27/29. Знаменатель - простое число. Чтобы перейти к
составному, применяем формулу (а) 27/29=27/30(1+1/30)
= 9/10(1+1/n). Преобразуем дробь 9/10 в сумму дробей. Так как 10=2*5, то
9/10=5/10+4/10=1/2+2/5. 2/5 содержит простой знаменатель, поэтому применяем
формулу (а): 2/5=2/6 (1+1/5)=1/3(1+1/5)=1/3+1/3 * 1/5=1/3+1/15. В
результате получаем: 27/29=1/2 + 1/3 + 1/15
4/17=4/18
* (1+1/17)= 2/9 * (1+1/17) = Хотя 9 - составное число, однако все его множители
больше числителя, поэтому еще раз применяем формулу (а) =
2/10 * (1+ 1/9) * (1+1/17) = 1/5 * (1+ 1/9) * (1+1/17) = 1/5 + 1/45 + 1/85 +
1/765
Число слагаемых, которые мы получаем в аликвотной дроби,
существенно зависит от нашей изобретательности: 4/17=1/17
+ 3/17. Мы видим, что если применим к 3/17 формулу (а), то непосредственно
перейдем к аликвотной дроби: 3/17=3/18(1+1/17)=1/6(1+1/17)=1/6+1/102. Т.о., 4/17
= 1/6+ 1/17 + 1/102.
5/31. Мы можем сообразить, что
если применим прием, которым воспользовались выше, то снова получим быстрое
решение: 5/31 = 1/31 + 4/31.
4/31=4/32(1+1/31) = 1/8(1+1/31)=1/8 + 1/248. Сл., 5/31=1/8 + 1/31 + 1/248.
Прием, назову его так: выделения единицы в
условиях нечетного числителя - мной заимствован у Сентябова, но без принятого им
ограничения четным знаменателем, так как последующее применение формулы (а)
превращает нечетный знаменатель в четный. Напоследок еще пример:
Но, разумеется, этот приём не является
универсальным, и похоже на то, что он является эффективным в условиях, когда
величина числителя относительно знаменателя мала.
3/11
=3/12(1+1/11= 1/4 +1/44.
3.
Соизмеримость Диагональ
любого квадрата несоизмерима с его стороной.
Доказательство методом от противного. Основание: не
существует рационального числа, квадрат которого равен двум.
m/n*m/n=(m/n)2
Если некоторое число является рациональным, то квадрат его есть также
рациональное число. Обратно: всякое ли положительное
рациональное число является квадратом некоторого рационального числа?
Если задачи, которые вообще не могут быть поставлены. Здесь вопрос о правом и
левом, о прямых и обратных операция и, соответственно, этот вопрос - о
симметричности мира. Но там, где симметрия, там движение невозможно. Можно
сказать, что симметрия - это торможение, асимметрия - возбуждение.
Эти вещи относятся к структуре реальности. Ведь если есть симметрия, то мы
неизбежно получаем короткое замыкание и уничтожение противоположностей, распад
целого. Например, вся структура человеческого организма построена по принципу
симметрии вплоть до того. что в человеке открывается существование двух
относительно самостоятельных людей. Однако при всей существующей симметричности
приспособление этих людей в человеке противоположно по качеству, но и, помимо
этого, одна из сторон этой противоположности является ведущей, другая -
подчиненной в соответствующих функциональных отношениях. Там, где нет этого
подчинения, там невозможно и функционирование целого подобного рода
двойственности. Противоположности, которые основаны только на
противопоставлении, ведут к распаду на составляющие их элементы. Любое целое
противоположностей существует постольку, поскольку им обеспечивается выживание
каждой из сторон противоположности во внешней среде. Одинаковые (симметричные)
объединяются ради выживания ценой подчинения одной стороны противоположности
другой. Т.о., мы получаем прямую и обратную операции. И отношение прямой и
обратной операции заключается в том, что обратная операция может применяться
только лишь к результатам прямой. Все те объекты, которые могут мыслиться, но не
порождаются прямой операцией, являются не существующими объектами, которые
обычно называют иррациональными, и при этом предполагается, что подобного рода
объекты есть реальность, и такого рода предположение зиждется на предпосылке
симметричности реальности. Однако если бы подобного рода абсолютно симметричная
реальность существовала, то она уже давным-давно
дематериализовалась, превратившись в чистую энергию, что невозможно.
Поэтому как существует правое и левое, точно также существует и положенное и
снятое. Мы обязательно должны исходить из прямых и обратных операций, есть
признаем, что структура реальности характеризуется формами единства симметрии и
антисимметрии.
Т.о. мы приходим к тому, что есть и еще
одно: вопрос об отношении между операциями умножения и деления. Если эти две
операции рассматривать в качестве обратных по отношению друг к другу, то мы
должны будем одну из них принимать в качестве прямой, и другую - в качестве
обратной (соответственно, одну в качестве положенной, другую - в качестве
снятой. И никак иначе. Либо то, либо другое, но не то и другое вместе..
Если в качестве первичной принимается операция умножения, то в ней мы не можем
получить число 2 в качестве квадрата какого-то другого числа, а поэтому
применение операции деления (извлечения корня) к ней неприменимо.
Операции
2.
Понятия конечного и бесконечного числа есть относительные понятия. Под
понятием конечного понимается число, которое можно исчерпать, бесконечного -
исчерпать невозможно. С другой стороны, конечное и бесконечное - это вещи,
которые способны переходить друг в друга. Мы можем исходить только из своего
отношения к чему-то. Что-то мы рассматриваем в качестве конечного, что-то - в
качестве бесконечного. Бесконечное превращается в конечное, когда мы, исходя из
установки, что оно бесконечно, однажды исчерпываем его. Как и обратно.
