Заметки по философии логики. Статья 3
091011
Конъюнкция
60. Все строки операторов выражаются
посредством импликации. Второе. Все операторы выражаются выражаются посредством
прямой и обратной импликации. То есть посредством принятия в качестве субъекта
сначала одной переменной, а затем другой. Конъюнкция, с этой точки зрения,
должна выражаться посредством прямой и обратной импликации То есть сначала Все А
суть В, и затем Все В суть А.
61. Всякое высказывание ограничивается областью субъекта.
В связи с этим вообще в естественных языках субъект обозначает объект, предикат
обозначает свойства.
62. Говорят о культуре, и говорят о культуре
интеллигенции, или мировой культуре. Но: субкультуры. Это культура
взаимоотношения воров, низших слоёв общества и т.д. Это так же определенные
формы культуры.
63. Возьмём конъюнкцию А и В. Конъюнкция выражает
пересечение двух множеств. Пересечение множеств А, В в операторе 1 дает
«Некоторые А суть В» и «Некоторые А суть –В» и аналогично относительно В/А.
Т.о., вывода нет. Допустим, что В исчерпывает универсальный класс и А входит в
него. Тогда мы получаем два отношения: Все А суть В и Некоторые В суть А и
Некоторые В суть –А. Тогда во втором случае вывод невозможен. Но в первом случае
вывод возможен: Если истинно А, то истинно В. Но из –А В не следует, так как В
исчерпывает собой универсальный класс, и из –А тоже следует В. Т.о., В следует
из А и –А.
64. Если истинно А, то истинно В. Однако эта информация
избыточна, поскольку если В исчерпывает собой универсальный класс, то мы
получаем В в качестве безусловного вывода.
65. Особенность операторов состоит в том, что они имеют
две стороны, то есть два субъекта. Т.о., А не выводимо ни условно, ни
безусловно. Однако, если мы возьмём дополнение к А, из него однозначно будет
следовать В. Но из В, опять-таки, однозначно не следует дополнение к А. Т.о., в
любом случае эти выводы бесполезны, так как В выводимо безусловно. Отсюда
правило: если какая-то переменная выводима безусловно, то её условный вывод не
имеет смысла.
Доказательства
66. Допустим, есть какое угодно сложное высказывание. Тогда любая внутренняя
скобка представляет собой две переменные, которые заменяются одним набором
истинностных значений, и т.о. на каждом таком шаге мы будем уменьшать число
наборов истинностных значений в два раза, заменяя два набора истинностных
значений одним. Пусть, например, у нас есть формулы А или В, Если А, то В, и к
ним применяется оператор конъюнкции. Тогда, применяя к А и В оператор «или», и
из двух наборов получаем один, затем то же выполняем по отношению к импликации,
и т.о. сократили четыре набора (но так как это – два одинаковых набора, то
никакого сокращения числа наборов не происходит: было два и пришли к двум.) до
двух. И теперь конъюнкцию применяем к операторам и получаем один набор.
67. Однако, положение вещей изменяется, когда мы имеем
дело с множеством переменных. А разные переменные – это разные объекты. Пусть,
например, у нас есть А и В конъюнкция Если С, то Д.
68. Следующий момент: во всех этих вещах присутствуют
субъекты. И, соответственно, присутствует направление движения от одних
переменных к другим. И пусть формула задается т.о., что первая переменная
выступает в ней в качестве субъекта, а вторая – в качестве предиката. Тогда,
например, для А или В мы получим если –А, то В, и для Если С, то Д получим Если
С, то Д
69. Как вообще получаются выводы вот для таких сложных
выражений? Для этого доказывается истина части выражения, и на основании
истинности этой части доказывается истинность другой его части. Возникает
вопрос: как это возможно? При исследовании операторов нами в качестве критерия
истины брались отношения между множествами. И операторы и выражали собой эти
отношения между множествами. Отношения между множествами выступали в качестве
реальности, или критерия истины высказываний. Естественно, что мы можем и дальше
продолжить эту традицию и рассматривать отношения между множествами, какими бы
они ни были, в качестве критерия истины соответствующих высказываний, а также
переходить от высказываний, какими бы сложными они ни были, к отношениями между
множествами, которые ими представляются. Можно также подойти к вопросу и со
следующей стороны: предположить, что существует множество высказываний, которые
адекватно отражают отношения между множествами. И существует также множество
высказываний относительно этих же множеств, относительно которых нужно
установить, адекватно или не адекватно они отражают заданные отношения множеств.
Допустим, что эти высказывания адекватно отражают заданные отношения между
множествами. В этом случае они должны будут совпадать с высказываниями, которые
выступают в качестве критерия истины если не явно, то есть абсолютно по форме,
либо неявно, когда формы различаются при тождестве содержания. Но в этом
последнем случае высказывание может быть приведено к стандартной форме
высказывания, выступающего в качестве критерия истины. В этом последнем случае
получаем упражнения для доказательства тождества двух высказываний,
представленных в различной форме.
70. Если мы теперь эти высказывания обозначим двумя
буквами А и В, где А –критерий, В- высказывание, истинность которого по
отношению к А доказывается, то после приведения формы высказывания В к форме А,
нами получается тождественное высказывание Если В, то А. Если же мы меняем
высказывание, выступающее в качестве критерия истины на В, то после аналогичного
приведения формы А к В, мы получим Если В, то В. Отсюда получаем эквивалентность
этих двух высказываний А=А либо В=В, что одно и то же.
71. Т.о., мы получили форму Если А, то А, если это –
отношение справедливо в одну сторону, и если это отношение справедливо в обе
стороны, то получим эквивалентность А эквивалентно А.
72. Поэтому доказательством истинности или адекватности
высказываний выступает такое сравнение отождествления двух высказываний, которое
дает отношение тождества двух высказываний по крайней мере в одну сторону. То
есть мы получаем, что либо А тождественно В, то есть обладает всеми теми
признаками, которыми обладает В, либо В тождественно А, то есть обладает
признаками А. Если же это – взаимное отождествление, то это создает из прямой и
обратной импликаций отношение эквивалентности.
73. Мы с вами видели, что все операторы образуются при
помощи импликаций, прямой и обратной. Это означает, что всякий условный вывод
связан с импликацией, то есть с направлением движения, в котором осуществляется
определение либо А через В, либо В через А. То есть мы всегда куда-то идём: мы
идем либо от А к В, либо от В к А. Поэтому мы должны проанализировать сложное
высказывание и придать ему форму, которой обеспечивалось бы движение к
выражению, которое нам нужно доказать. Пусть, например, у нас есть выражение
АилиВилиС и нам нужно доказать С. С должно быть последним выражением вывода,
поэтому мы можем расставить скобки Аили(ВилиС). Отсюда получаем импликативное
выражение если –Ато(если –В, то С). Данную форму можно рассматривать в качестве
стандартной. Теперь нам остается обеспечить истинность –А, -В, чтобы получить В,
что можно записать в виде: –Ато(если –В, то С), -А,-В выводимо С, откуда
получаем: Если (–А,то(если –В, то С), то если –А, то(если –В, то С)). Т.о., мы
получаем тождество двух выражений. В таком случае мы можем говорить о нормальной
форме вывода, состоящего из одних импликаций и в котором скобки упорядочиваются,
начиная с последних двух выражений. Если В, то всё, что предшествует, может быть
упорядочено посредством конъюнкции, которая может быть преобразована во
множество антецедентов импликации в нужном порядке.
74. Т.о., при построении выводимого высказывания мы можем
начинать с тождества Если А, то А, в которое подставляем тождественные
выражения. Например, А/если А, то В. Получаем (Если А, то В)то (Если А, то В),
откуда: если А, то В, А выводимо В. Или Если Если А, то В, то (Если А, то В).
75. Итак, для того, чтобы возможен был вывод, обязательно
должно быть тождество. Поэтому если ты строишь формулу и хочешь, чтобы в ней был
возможен вывод, обязательно её нужно строить как тождественно-истинную формулу.
76. Но на языке тождества применяются импликация и
эквивалентность, то на противоположном языке, языке противоречий, должна
применяется строгая дизъюнкция и, соответственно, дизъюнкция и отрицание
конъюнкции в качестве основных способов вывода, тогда как всё это должно
выглядеть?