Алгоритм. определения. Алфавит. Слова. Операции над словами.
Алфавит. Слова. операции.
То, с чего мы начинаем -
с удвоения. Мы имеем дело с предметами, о которых можем говорить. Но слова, в
свою очередь являются предметом, о них мы можем также говорить. То есть мы можем
говорить о том, о чем говорим. Иначе, так как посредством речи мы занимаемся
удвоением того, о чем говорим, посредством введения знаков знаков, по отношению
к которым мы, в свою очередь, можем ввести знаки, и двигаться в этом направлении
сколь угодно долго.
Займемся опытами. Пусть мы имеем
дело с операторами и переходами от одних операторов к другим.
Начнём с построения алфавита. В качестве объектов у нас
выступают переменные А, В, причем, истина обозначается А, ложь - -А. Будем
обозначать переменную А словом ab, переменную -А словом
ba и вообще
переменная обозначается двумя рядостоящими буквами Алфавита.
Отрицание переменных обозначается обратным их порядком Итак, слова для переменных мы
нашли. Теперь нужно найти слова для операторов. У нас шестнадцать операторов, и
для каждого из них должно быть своё слово
Вхождение слова в слова. Если слово эквивалентно преобразуется в другое слово,
то, входя в какое-то слово, оно изменяет его (его форму и, возможно, содержание)
Начнём с операций в лабиринте. Теперь нам нужно всё рассмотреть в единстве и взаимоопределении всех
частей лабиринта. Прежде всего, у нас должна существовать возможность перехода
от одной площадки лабиринта к другой. С каждой из площадок лабиринта мы
связываем её имя. Процесс перехода от одной площадки к другой осуществляется на
основе подстановок. Поэтому слова, обозначающие площадки, должны быть связаны
между собой эквивалентными переходами, и вопрос заключается в искусстве
задания переходов. В чем состоит принцип перехода: подстановки должны позволять
получать переход от одних слов к другим. "Для любых двух слов в данном
исчислении должна существовать возможность определить, являются они
эквивалентными или нет." Алгоритм задается допустимыми подстановками. Алгоритм
перерабатывает одни слова в другие. Нас интересует, как всё это дело
может строиться. Пусть дан алфавит
{a,b,c,d}
II. Будем считать, что алгоритм в алфавите А за- дается в виде некоторой
системы допустимых подстано- вок, дополненной общепонятным точным предписанием о
том, в каком порядке и как нужно применять допу- стимые подстановки, и когда
наступает остановка.
Опишем теперь процесс преобразования слов, по- зволяющий из заданного слова
получать новые слова. Зададим в некотором алфавите конечную систему допу- стимых
подстановок где Р, Q, L, М, ..., 5, Т — слова в том же алфавите. Любую
подстановку вида L—М можно применять к некоторому слову R этого алфавита
следующим спосо- бом: если в слове R имеется одно или несколько вхо- ждений
слова L, то любое из этих вхождений может быть заменено словом М, и наоборот,
если имеется вхо- ждение слова М, то его можно заменить словом L. Например,
подстановка ab — bcb применима четырьмя способами к слову abcbcbab. Замена
каждого из двух вхождений bcb дает слова aabcbab, abcabab, а замена каждого из
двух вхождений ab дает слова bcbcbcbab, abcbcbbcb.
Подстановка же ab—bcb неприменима к слову bacb, так как в
это слово не входят ни слово ab, ни сло- во bcb.
К полученным с помощью допустимых подстановок словам
можно снова применить допустимые подстанов- ки: так будут получены новые слова и
т. д. Совокупность всех слов в данном алфавите вместе с системой допустимых
подстановок называется ассоциа- тивным исчислением. Чтобы задать ассоциативное
исчисление, достаточно задать алфавит и систему под- становок.
Два слова Pi и Рг в некотором ассоциативном исчи- слений
называются смежными, если одно из них может быть преобразовано в другое при
помощи однократного применения некоторой допустимой подстановки.
Последовательность слов Р, P\r Рг, Рз, • •., Q назы- вается дедуктивной
цепочкой, ведущей от слова Р к слову Q, если каждые из двух рядом стоящих слов
этой цепочки являются смежными. 437 Два слова Р и Q
называются эквивалентными, если существует дедуктивная цепочка, ведущая от слова
Р к слову Q. Отношение эквивалентности обозначается так: Р ~ Q. Очевидно, что
если Р ~ Q, то Q ~ Р, так как допустимые подстановки можно применять в обе
стороны.
Пример. Зададим следующее ассоциативное исчи- сление:
{а, Ь, с, d, e) — алфавит,
ас — са)
ad— da
be— cb
bd — db
— допустимые подстановки.
abac — abacc
eca — ae
edb — be
Слова abede и acbde в этом исчислении являются смежными,
так как слово abode может быть преобразо- вано в слово acbde с помощью
применения подстановки bc—cb.
Слово aaabb.ue имеет смежных слов, так как к нему
неприменима ни одна подстановка.
Слово abode эквивалентно слову cadedb, так как су-
ществует дедуктивная цепочка смежных слов: abede, acbde, cabde, cadbe, cadedb.
Здесь последовательно применены 3-я, 1-я, 4-я, 5-я под-
становки.
Ассоциативному исчислению можно поставить в со-
ответствие бесконечный лабиринт следующим способом: каждому слову данного
алфавита: ставится в соответ- ствие определенная площадка лабиринта.
иметь бесконечное число площадок. ' : 438 Любые две
площадки этого лабиринта, соответствую- щие смежным словам, соединяются
коридором. Если теперь два слова Р и Q эквивалентны, то в построенном лабиринте
это означает, что площадка, со- ответствующая слову Q, достижима с площадки,
соот- ветствующей слову Р, т. е. что в этом лабиринте суще- ствует путь, ведущий
от площадки Р к площадке Q. Иногда рассматривается специальный вид ассоциа-
тивного исчисления, которое задается алфавитом и си- стемой ориентированных
подстановок вида P-+Q.' Стрелка здесь означает, что подстановку разрешается
производить лишь слева направо, т. е. заменять вхо- ждение слова Р на слово Q,
но не наоборот. Такое ас- социативное исчисление может быть изображено бес-
конечным лабиринтом, по каждому из коридоров которого разрешается двигаться
только в одном на- правлении.
Ясно, что в таком ассоциативном исчислении из эк-
вивалентности Р ~ Q ни в коей мере не следует, что Q ~ Р. Мы не будем
рассматривать проблемы, связан- ные с таким особым ассоциативным исчислением.
Для каждого ассоциативного исчисления возникает своя
специальная проблема слов. Она заключается в следующем: Для любых двух слов в
данном исчисле- нии требуется узнать, эквивалентны они или нет.
[A] Примеры нормальных алгоритмов
Пусть алфавит А и система подстановок имеют вид A={1,+}
1 + → + 1, +1→1 1→1 (стрелками общепринято обозначать тот факт, что задано
не ассоциативное исчисление обычного вида, а нормальный алгоритм Маркова).
Посмотрим, во что переработает этот алгоритм слово 1 1 1 1 —|— 1 1 + 11 1.
Последовательно получаем слова:
1111 + 11 + 111
111 + 111 + 111
11 + 1111 + 111
1 + 11111 + 111
111111 + 111
II 11 1 + 1 1 1. 1 .
1111 + 11111
III + 111111
11+1111111
1 + 11 111111
++
111111111
+111111111
111111111
1111
l l l l l
Процедура оканчивается применением заключительной
подстановки 1→1, которая перерабатывает
слово 111111111 в себя.
[A] Что
здесьпринципиально важно? То,что мы пытаемся воспринимать 1 как объект, а +
как оператор. На самом деле всё это - не что иное, как простые рисунки,
а подстановки есть способ смены одних рисунков на другие. И то, что математики
называют "словами", на самом деле является рисунками, а переходы от одних слов к
другим на основе подстановок есть не что иное, как то, чем определяется закон
перехода от одних рисунков к другим. Это подобно тому, что мы имеем в кадрах
фильма, в которых одни рисунки последовательно сменяют другие.
Речь идёт,
следовательно, о способе отождествления одних рисунков с другими. Однако это
отождествление осуществляется не на основе выделения тождественного, а на основе
отождествления различного. Пусть есть два слова аbc caaca
в алфавите {a,b,c}. Каким образом мы можем их
отождествить? Путем отождествления каких - то их частей, например, мы можем
создать две подстановки: а=саа, bc=ca., причем,
можем сделать это последовательно. например, abc
→ caabc →
caaca.На что здесь следует обратить внимание?
На то, что мы можем делать это последовательно, шаг за шагом, либо же
параллельно, осуществляя все возможные подстановки за один ход.
Т.о., мы спокойно можем
перейти от одного слова к другому именно потому, что то, что имеет совершенно
различный вид, рассматривается как имеющее вид совершенно одинаковый. В этом
смысле всюду мы имеем дело не с сущностью, а с видимостью,
Т.о., какого рода фокус нам предлагается? Просто берется
какая-то технология доказательства, которая представляет собой ведь
действительно последовательность каких-то картинок. В доказательствах переходы
осуществляются на основе также и эквивалентностей. Пусть, например, у нас есть
два множества объектов, каждый из элементов которых обозначим в виде 1. Одно
множество состоит из 4-х объектов, второе - из трех. И нам нужно посредством
счета определить их сумму. Это мы можем записать в алфавите А={1,+} в виде
1111+111. Это - первоначальный рисунок. Теперь нам нужно эти объекты
пересчитать. Начнём с простейшего варианта сложения двух единиц: 1+1=2. Но мы
это запишем не так. Мы будем считать, что у нас было два множества по одному
элементу, и в результате сложения мы получили новое множество, состоящее из двух
элементов. что и запишем ввиде: 1+1=11. Теперь обратим внимание, как, используя
последовательность рисунков, мы можем перейти от рисунка 1+1 к рисунку 11. Для
этой цели придумаем подстановки: 1+ → +1, +1 → 1, 1→1. Благодаря этим
подстановкам получаем последовательность: 1+1 → +11 → 11 → 11. Здесь процесс
останавливается, поскольку картинка начинает бесконечно воспроизводить самое
себя. Соответственно, мы можем записать последовательность переходов:
1111+111
→ 111+1111 →11+11111 → 1+111111 →
+1111111→1111111→1111111.Что в сущности мы с вами сделали? - мы переместили
элементы из одного множества в другое, и результате на одной стороне получили
пустое множество, на другой - все элементы двух исходных множеств.
Введем перевод слов: аб=А, ба=-А, бв=В, вб=-В, диз =
дизъюнкция, кон = конъюнкция, им=импликация, оим=обратная импликация,шеф
- знак Шеффера (отрицание конъюнкции), стр - стрелка Пирса (отрицание
дизъюнкции) абимбв
→ баимбв → авдизбв. преобразование
слов предполагает эквивалентность рисунков аб - ба, им- диз и определенную
последовательность применения операций.
Здесь можно исходить как раз из направленной эквивалентности, то есть из
импликации. Нами строится алгоритм действий, который строго однозначно должен
привести к определенному результату.Для этой цели применяется
последовательность подстановок в определенном порядке. Поэтому мы должны
записать: 1. аб → ба. 2. им → диз; 3. ба → аб. Т.о., мы
можем сказать, что если нам дано слово абимбв, то последовательным применением к
нему трех подстановок мы получим слово абдизбв.
Здесь ошибка, так как получается, что А →В≡А˅В.
Исправление: Нами строится
алгоритм действий, который строго однозначно должен привести к определенному
результату.Для этой цели применяется последовательность подстановок в
определенном порядке. Поэтому мы должны записать: 1. аб → ба. 2. им →
диз; Т.о., мы можем сказать, что если нам дано слово абимбв, то
последовательным применением к нему двух подстановок мы получим слово
бадизбв. А уже от этих
слов мы можем перейти к той реальности, которую они обозначают. Т.о.,
действия непосредственно с объектами подменяются действиями со словами, и на
основании этого осуществляется переход от объектов одного рода к объектам
другого рода.
Слова Линейность расположения знаков в конструктивных объектах
а) пустое слово Λ мы
считаем словом в алфавите А;
б) если конструктивный объект Р уже оказался словом в
алфавите А, то словом в алфавите А мы считаем также и конструктивный объект
Рξ, где
ξ — любая буква алфавита А (здесь Рξ
означает объект, получающийся в результате приписывания к Р справа буквы
ξ в частности,
Λξ означает
ξ).
Высказывания≠Высказывания,
по Маркину, образуются на основе сравнения:
4. Сравнивая между собой слова в каком-либо фиксированном алфавите А,
мы можем встретиться с двумя словами, составленными из одинаковых букв,
одинаковым образом расположенных. Но может случиться и так, что одно из
сравниваемых слов окажется длиннее другого или что при равной длине эти
слова будут различаться на некоторых местах буквами. В первом случае мы
будем называть слова графически равными, а во втором — графически
различными. С целью уточнения этих определений мы введем два бинарных
отношения между словами в А — отношение = и А графического равенства
слов в А и отношение
≠ графического различия слов в
А, считая, что:
Λ - пустая буква
Р.1. Высказывание Λ=Λ истинно всегда
P.2. Высказывания Рξ=Λ,
Λ=Рξ где Р—слово в А, а
ξ—буква этого алфавита, являются ложными.
Р.З, Высказывание Рξ=Qη
где Р и Q—слова в Л, а ξ и η — буквы
этого алфавита, является истинным, если буквы
ξ иη
одинаковы и высказывание P=Q
истинно, и ложным, если
ξ и η различны или высказывание Р=Q
ложно. Р 4. Высказывание P≠
Q является истинным, если высказывание Р=Q ложно, и, наоборот, ложным, если
это последнее истинно.
Операция соединения слов 5. Важную роль в дальнейшем
изложении будет играть операция соединения слов. Ее применение к словам Р и
Q в алфавите А будет состоять в приписывании справа к слову, графически
равному Р, слова, графически равного Q, в результате чего получается слово,
называемое соединением слов Р и Q. Соединение слов Р и Q мы временно будем
обозначать символом [Р, Q]А
Впоследствии, когда для этой операции будет установлен сочетательный закон,
мы заменим обозначение [Р, Q]А
слов. Именно, зафиксировав алфавит А, мы для любых
двух слов Р и Q в А и для любой буквы
ξ этого алфавита положим
[Р, Λ] =Р
[P,Qξ]=[P,Q]ξ
(знак =^ здесь означает равенство по определению). Из этого определения
операции соединения мы и будем исходить в дальнейшем.
Первое равенство позволяет найти соединение слова Р и
пустого слова при любом Р. Второе однозначным образом сводит нахождение
соединения слова Р со словом Q£ к нахождению соединения слова Р с
„предшествующим" QI словом Q. Таким образом, соединение Р и Q может быть
построено при любых Р и Q. более простым. Мы дадим сейчас удобное для
использования (и несколько более точное) определение этой операции,
учитывающее индуктивный характер определения
Маркин. Абстракция потенциальной осуществимости
2.1. Ко всякому слову в данном алфавите может быть приписана справа (слева)
любая буква этого алфавита, и это дает другое слово в том же алфавите.
В частности,
2.2. Ко всякому натуральному числу может быть прибавлена
единица, и это дает другое натуральное число.
Абстракциря отождествления - говорим об двух одинаковых буквах как об
одной и той же букве
Общие высказывания "Мы будем тогда понимать наше
высказывание общности как тривиальную истину Л Ж Л (независимо от того, в чем
состоит требование, которому должен удовлетворять объект).
При таком понимании высказываний общности в тех случаях,
когда имеется список объектов рассматриваемого вида, имеет место следующее. При
добавлении к этому виду одного нового объекта высказывание о том, что всякий
объект расширенного вида удовлетворяет поставленному требованию, оказывается
равносильным конъюнкции прежнего высказывания общности (относящегося к
первоначальному виду) и высказывания о том, что добавленный объект удовлетворяет
этому требованию. Вот откуда появляется последовательность
у Маркина. Общие суждения - это, вообще говоря, актуальная бесконечность. То
есть предполагается, что все объекты существуют параллельно. У конструктивистов
же это выглядит иначе: берется объект, который обладает каким-то свойством.
Тогда, если обнаруживается другой объект с таким же свойством, то он
конъюнктивно объединяется с предшествующим, образуя, т.о., с ним актуально
заданное множество Для некоторых объектов
рассматриваемого вида может быть установлено путем надлежащих рассуждений, что
эти объекты удовлетворяют поставленному требованию. Эти рассуждения могут иметь
такой характер, что будет ясна возможность провести аналогичные рассуждения для
любого другого объекта рассматриваемого вида. Тогда у нас сложится убеждение в
том, что, какой бы нам ни был предъявлен объект этого вида, мы сумеем доказать
(сделать очевидным путем рассуждений), что этот объект удовлетворяет
предъявленному требованию. Именно эту ситуацию мы и констатируем, говоря, что
всякий объект данного вида удовлетворяет данному требованию.
Итак, мы пришли к следующему пониманию высказываний о
том, что всякий конструктивный объект данного вида удовлетворяет данному
требованию. Это высказывание констатирует нашу способность доказать для любого
данного нам объекта рассматриваемого вида, что этот объект удовлетворяет
предъявленному требованию.
Источником нашей уверенности в том, что мы сумеем
провести требуемое доказательство, каков бы ни был предъявляемый нам объект,
может быть наш ограниченный опыт по таким доказательствам, если нам в результате
этого опыта станет ясно, как действовать в любом случае. Эту нашу способность
убеждаться в инстинности общих высказываний на основании ограниченного опыта мы
будем в дальнейшем называть интуицией общности.
Правая индукция 41 4. В случае, когда
утверждается, что данному требованию удовлетворяет любое слово в некотором
алфавите А, можно широко пользоваться методом, основанным на особом, индуктивном
характере определения слов. Он заключается в следующем. Сначала мы показываем,
что
1) пустое слово Л удовлетворяет данному требованию.
'Затем показываем, что
2) если какое-нибудь слово Р в А удовлетворяет данному
требованию, то, какова бы ни была буква | алфавита А, слово Р\ также
удовлетворяет этому требованию.
Тогда можно утверждать, что всякое слово в А
удовлетворяет поставленному требованию.
В самом деле, прослеживая процесс построения
какого-нибудь слова, мы видим, что на каждом шаге этого процесса строится
некоторое слово, удовлетворяющее поставленному требованию. В частности, это
относится и к последнему шагу, когда получается интересующее нас слово.
Этот метод мы будем называть методом правой индукции по
построению слова или просто правой индукцией.
5. Правая индукция в
случае, когда алфавит А состоит из одной буквы |, представляет собой обычный
арифметический «метод полной индукции». В этом случае слова в алфавите А суть
натуральные числа, число нуль совпадает с пустым словом, а сам метод состоит в
следующем.
В связи с этим возникает вопрос об
образовании слов. У нас есть Алфавит, который состоит из одного знака
|. Если мы принимаем, что те слова, которые мы
образуем, зависят единственно от нашей воли и больше ни от чего, то
единственное, чем мы ограничены в построении слов, это способ их построения.
Способ же построения слов заключается в том, что в качестве первой буквы любого
слова выступает пустая буква, к которой последовательно, вслед друг за другом
приписываются буквы из существующего алфавита, причем, этот процесс может
осуществляться бесконечно. (т.о., мы приходим к понятию потенциальной
бесконечности) Любая такая произвольная последовательность нами может
рассматриваться как правильно построенное слово. Однако, в то же самое время, мы
знаем, что в заданном алфавите и в данном конкретном языке не все слова
признаются словами этого языка. так, лопата- слово русского языка, но
атапол не является словом русского языка. Почему? - потому что этомуслову ничто
не соответствует в реальности. Однако это слово может стать словом русского
языка, если ему будет сопоставлено его значение.
Пусть мы хотим доказать, что всякое натуральное число удовлетворяет некоторому
условию F с натуральной переменной N. Для этого мы-доказываем, что:
1) нуль удовлетворяет F,
2) для всякого N имеет место
импликация: если N удовлетворяет F, то и N|
удовлетворяет F.
Тогда всякое натуральное число удовлетворяет F.
. Когда говорят о неоднозначности естественного языка, то это неправда.
Вопрос весь сводится к однозначному или не однозначному выражению мыслей при
посредстве языка. Вот пример. Марков 37. О дизъюнкции
".Существует простое число, меньшее двух или существует простое число, большее
двух". Простое число меньше или больше двух или равно двум., но оно не может
быть одновременно и меньше и больше двух и равно ему. . Но вообще простое число
может быть как меньше, так и больше двух. И тогда
свойства образа, с которым отождествлен воспринятый предмет, переносятся на
воспринятый предмет. С проявлением работы механизма отождествления и различения
мы сталкиваемся, в частности, в психоанализе, когда психоаналитик пациента
отождествляется с его отцом и т.п., то есть мы имеем дело с переносом того, что
стало инстинктом пациента, на внешние объекты, отношения с которыми так или
иначе отождествляются с отношениями с объектами, с которыми пациент имел дело в
своей жизни. На уровне феноменологии каждый из нас может отметить работу этого
механизма в своём собственному субъективном чувственно-практическом опыте, когда
объекты с внешними признаками отождествляются нами с образами объектов нашего
предшествующего опыта. Это непосредственное отношение превращается в
опосредованное, когда образу объекта дается имя и происходит переход от
чувственно-практического отношения к миру к его познанию в мышлении.
Итак, понятие в самом первом его виде представляет собой совокупность признаков,
на основании которых выделяются объекты данного рода. Отношение между признаками
и свойствами - относительное. Признак и свойства - это противоположности. И
поэтому свойство предмета может выступать в качестве его признака, то есть вещи,
на основании которой осуществляется отождествление предмета с его понятием, как
и признак предмета может рассматриваться в качестве его свойства. Понятие само
по себе есть отражение единства признаков и свойств объектов, то есть
характеризуется идеальным содержанием. Сущность мышления состоит в том, что оно,
имея дело с образами, выделяет признаки образов в самостоятельные объекты, из
которых способно создавать новые объекты, новые образы (например, образ
кентавра), которые не предполагают существования в реальности объектов,
соответствующих построенным образам. Поэтому если мы
говорим "простое число", то мы имеем дело с соответствующими признаками. Понятие
простого числа есть видовое понятие относительно понятия числа вообще. То, как
строится число, этим занимаются конструктивисты. В мышлении мы имеем дело с
представлениями, то есть с вещами, которыми представляется что-то другое.
Например, понятие числа в качестве чувственно данного объекта может быть
представлено в виде задания черты как представляющей единицу, и правила, на
основании которого из единиц строются числа. Затем, каждый потенциально
получаемых объектов, в свою очередь, представляется каким-то образом, например,
| - 1, || -2 , ||| - 3 и т.д. Итак, с точки зрения принципа конструктивизма мы
начинаем с понятий как совокупности признаков. Этим понятиям могут
соответствовать образы реальности, но не обязательно. Мы можем построить сами
чувственные образы, которые будут представлять понятия. А для этого у нас должны
существовать правила, в соответствии с которыми мы строим соответствующие
чувственные образы. Пусть теперь мы говорим: "существует простое число, меньшее
двух, или существует простое число, большее двух. Это высказывание может быть
записано в виде: ˅х(х<2)˅˅x(x>2). Изменим это высказывание на форму:
˅х(х<2˅x>2). Однако х не
может быть одновременно быть меньше и больше 2, хотя дизъюнкция при этом и будет
верна. В связи с этим, можно говорить о способах применения операторов.
Если мы говорим "А или В", то мы должны говорить, что относительного некоторой
задачи (некоторого контекста) выполняются в качестве истинных все три варианта.
Иначе можно сказать так: некоторое событие произойдет, если произойдет событие
А, или событие В, или оба события вместе. То есть здесь мы имеем дело с
ансамблем отношений между событиями. Возможны три события и невозможно одно - не
произойдет ни А, ни В. Но простое число х не может быть одновременно А и В.
Выразимся иначе. х<2 - свойство А числа х, х>2
- свойство В числа х, х=2 - свойство С числа х. Все эти три свойства не
совместимы друг с другом. Поэтому дизъюнкция для выражения отношений между этими
числами не подходит. Здесь должна быть применена строгая дизъюнкция.
Возьмём другое выражение: "существует число, которое делится на 2 или на
3". Какие числа сюда относятся? Это все четные числа, поскольку все они делятся
на два, все нечетные числа, которые делятся 3, наконец, сюда же относятся все
четные числа, которые делятся на три. Что из сказанного следует? То, что если мы
употребляем какой-то оператор относительно каких-то событий объектов, то мы
должны исследовать все варианты для него, а не какой-то отдельный вариант. Так,
например, мы можем сказать: "существуют числа, которые делятся на 2 и на 3."
Какие числа к ним относятся? - все те числа, которые в качестве множителей имеют
2 и 3. Во-первых, это, во всяком случае, четные числа. Во вторых, это - четные
числа, делящиеся на 3. 2*3= 6 6*2 = 12 24 48 96 ... 6*3 =18 36 72 144 ...
Или иначе: 6*(1,2,...n...)=6,12,18,24,30,...
Метод построения всех чисел этого рода: берем произведение делителей и умножаем
последовательно на элементы натурального ряда числе. Обобщаем этот метод. на
любые простые числа. Например, числа, которые делятся на 7 и 11. Получаем:
7*11=77*(1,2,...) 77,154, 231, 308,.. Рассмотрим обратную операцию. Пусть дано
число. Какие числа являются его множителями? Все числа натурального ряда могут
быть представлены в виде произведения простых чисел. Поэтому множители числа
определяются путем последовательного деления числа на простые числа, начиная с
минимального. Что такое "простое число"? Это,
прежде всего, понятие С чего начинается понятие? - с образа объекта. Мы имеем
дело с рефлекторным отношением до тех пор, пока образ является моментом
чувственно-практических отношений живой системы с внешней средой. Это отношение
характеризуется тем, что воспринимаемый образ соотносится с образом, который уже
существует в голове человека благодаря памяти образов. Тогда реакция
отождествления заключается в суждении: "Это" - как "то"
В связи с этим, свойства, которыми могут обладать числа: это свойства меньше,
больше, равно, свойство делимости. Всюду, где мы имеем дело с числами, мы имеем
дело со всевозможными отношениями между ними: числа рассматриваются не сами по
себе, а по отношению к другим числам.
Теперь нам нужно всё рассмотреть в единстве и взаимоопределении всех
частей лабиринта. Прежде всего, у нас должна существовать возможность перехода
от одной площадки лабиринта к другой. С каждой из площадок лабиринта мы
связываем её имя. Процесс перехода от одной площадки к другой осуществляется на
основе подстановок. Поэтому слова, обозначающие площадки, должны быть связаны
между собой эквивалентными переходами, и вопрос заключается в искусстве
задания переходов. В чем состоит принцип перехода: подстановки должны позволять
получать переход от одних слов к другим. "Для любых двух слов в данном
исчислении должна существовать возможность определить, являются они
эквивалентными или нет." Алгоритм задается допустимыми подстановками. Алгоритм
перерабатывает одни слова в другие. Нас интересует, как всё это дело
может строиться. Пусть дан алфавит
{a,b,c,d}