Заметки по философии логики. Статья 7
147.
Согласно моей установке, частные суждения не участвуют в действиях. Действие,
каким бы оно ни было, даже если оно ориентируется на вероятностные события, оно
строится т.о., чтобы либо допустить какое-то событие, либо не допустить.
Действия оперируют только с общими и, соответственно, с единичными.
148. Если мы докажем тождественную истинность выражения
для одной строки, то оно будет выполняться и для остальных строк. Пусть есть
модус поненс «Если А, то В, то Если А, то В» На основе правил выражения одних
операторов через другие, мы можем преобразовать модус поненс в удаление
дизъюнкции. К.о.? Если А, то В равно не А или В. При тождественной истинности
формулы мы можем изменять истинностные значений переменных, входящих в
выражение. Тождественная истинность формулы при этом не изменится, изменится
лишь выделяемая при этом строка. Например, А→В→.А→В, -А→В→.-А→В, А→-В→.А→-В,
-А→-В→.-А→-В. Все эти формулы истинны для, соответственно, строк 1,2,3,4.
149. Все это – тождественно истинные формулы.
Преобразование операторов связано уже с противопоставлением истинностных
значений переменной в разных частях формулы. Тогда мы должны будем получить
такие наборы. Пусть – знак неопределенного оператора Δ. Он принимает значения
разных операторов в одном и том же выражении. Тогда можем записать: 1.АΔВ→-АΔВ,
2.АΔВ→АΔ-В, 3.АΔВ→-АΔ-В, 4.АΔВ -→-АΔВ. Пусть слева Δ= →. Вопрос: чему будет
равен оператор справа? Алгоритм. 1. Строим таблицу истинности для А,В, -А,-В,
затем исходим из основного правила: все операторы, какими бы они ни были,
характеризуются НИЗП, которые получаются на основе имлпикации. На основании
этого получаем: для импликации: илии. . Для правой части выражения для каждой
строки точно также исходим из правила импликации, то есть из таблицы истинности
последней. Именно, берем –А и по отношению к нему рассматриваем значения В.
Получаем набор ииил, что соответствует дизъюнкции. Следовательно, А → В → .-А v
В. Берем второе выражение, для чего для правой части берем импликацию А → -В.
Получаем А|-B. Сл. А →В →.А|-B. Рассматриваем третье выражение и получаем
обратную имликацию: А →В →.-А←-В. Так как во всех случаях мы имеем
тождественно-истинные выражения, мы можем оператор отрицания переносить из одной
части уравнения в другую.
150. По сути своей мы получаем 4 формы для прямой и
обратной импликации, дизъюнкции и знака Шеффера как варианты одной и той же
формы, которые различаются между собой только истинностными значениями
переменных, которые принимаются в качестве точки отсчета. Т.о., мы получаем
через импликацию выражение дизъюнкии, знака Шеффера и обратной импликации. Знак
Шеффера: А|В→.А→-В, дизъюнкцию: А v В → -А→В, обратной импликации А←В→.-А→-В.
151. Отсюда получаем соответствующие правила вывода для
соответствующих операторов.