на главную страницу

    Заметки по философии логики. Статья 6

L30a6 Тождественно-истинные формулы

     Обозначения:
    1. в соответствии с символами таблицы операторов.
   2. Также: ˄ - квантор общности. "все", ˅- квантор существования, "некоторые", "-" - знак отрицания "не" высказывания  либо дополнение множества
   3. ϵ - включение элемента в множество. АВ - то же, что А&В; АпВ или А∩В или АВ  -  пересечение двух множеств. Также АоВ или АUB или А+В - объединение множеств, А\В - разность множеств, АлВ - отношение взаимного дополнения двух множеств, АвВ или АTВ  - отношение включения множества А в множество В. Ⱶ  - знак вывода.   ' - связка "суть" 

    Сокращения:
    НИЗП -набор(ы) истинностных значений переменных
    ОТИЗ - операторы с тремя одинаковыми истинностными значениями, ОТИЗл - ОТИЗ "ложь", ОТИЗи - ОТИЗ "истина"
    ТИФ - тождественно-истинная формула
    м.п. - модус поненс, м.т.- модус толленс, т.д. - теорема дедукции
    Правила для опускания скобок (правила приоритетов операторов слева направо по силе связывания) & и все ОТИЗл имеют одинаковую, наибольшую силу связывания; ˅, | имеют одинаковую силу связывания; →, ≡. Пример: А&B˅C→D≡E равносильно ((((A&B)˅C)→D)≡E)
    Еще одно удобное  правило опускания скобок, принадлежащее А. Черчу: точка перед переменной означает левую скобку, отвечающая ей правая скобка принадлежит концу выражения. Пример: запись А→В→.С→D равносильна записи (А→В)→(С→D)

 

    Возвращаемся к опыту, осуществленному в заключении статьи 5.
    ТИФ - тождественно истинная формула, то есть формула, которая принимает истинностные значения "истина" для всех НИЗП. Это значит, что главный оператор выражения принимает значения истина для всех наборов истинностных значений. Вопрос, который ставился в заключении статьи 5, состоял в том, как можно определить, является ли данное выражение ТИФом, не строя для этого его таблицу истинности, но, очевидно, исходя из его формы. То есть предполагается, что ТИФы обладают какой-то особенной структурой сравнительно с не ТИФами. Автор берет ТИФ ⱵА→В→.B→C→.A→C. (3) Приводим ход рассуждения автора полностью:

    "В формуле (3) нам нужно показать, что при условиях истинности А→В, В→С выражение А→С будет истинно и, соответственно, при истинности А истинным будет С. Итак, для истинности С у нас должно быть истинно А. Следовательно, в НИЗП должны быть взяты только А, все -А должны быть удалены. У нас вместо 8 наборов остается для рассмотрения 4. Для того, чтобы был истинен консеквент истинного главного оператора, необходимо, чтобы бы истинен его антецедент, то есть должно быть истинно выражение А→В. Так как А=и, то для истинности А→В обязано  быть истинно также и В. Поэтому в оставшейся части НИЗП мы устраняем очередные две строки, в которых В принимает значение "л", и у нас остаются две первые строки НИЗП, в которых С во второй строке должно быть истинным, так как истинно А→С и истинно А, но оно ложно.  Остается первая строка, которой соответствуют истинностные значения истина выражений А→В, В→С. Берем формулу правила вывода (м.п.) А→В, А Ⱶ В и подставляем на место А/А→В, на место В/(В→С)→(А→С). Так как А→В истинно, то также истинно (В→С)→(А→С). Теперь в модус поненс (м.п.) снова делаем подстановки: А/В→С, на место В/А→С. Так как В→С  должно быть истинно, то А→С также истинно. Подставляем в м.п. А/А→С, В/А, получаем: С, что и требовалось доказать."

   Вещью, которой обосновываются действия автора, является следующее его рассуждение:
    "если мы пишем АⱵ В, то мы тем самым имеем ввиду истинность импликации А→В=и, тем самым исключаем из рассмотрения вторую строку НИЗП. Другими словами, мы как бы говорим: если истинна импликация А→В, то если истинно А, то истинно В. А это - правило удаления импликации, м.п. Но явно мы этого не говорим, то, что А→В должно быть истинно, это мы опускаем, и признаком того, что мы это делаем, является употребление значка "Ⱶ " "
   Как получается м.п.? Нами берется закон тождества Ⱶ А→А, на место А подставляется А→В:  А/А→В, получаем Ⱶ А→В→.А→В и затем последовательно переносим в левую часть знака вывода  антедеценты главных знаков импликации: А→В Ⱶ А→В; затем  А→В, А Ⱶ В Т.о. мы получили правило удаления импликации, м.п. , исходя уже не из таблицы истинности операторов, а из единственной онтологической установки, или аксиомы : А→А и правила подстановки в неё тождественных выражений. С тем же успехом мы можем осуществить противоположный переход от м.п. к закону тождества на основе применения правила обратной подстановки, которая состоит в замене одинаковых выражений представляющими их сокращениями т.о., что устанавливается между ними 1-1-значное соответствие.
    Теперь мы можем определиться с отличительной особенностью ТИФов сравнительно с другими выражениями на основе рассмотрения правила удаления импликации. Это правило состоит в том, что то, что у нас есть в следствии, уже содержится в посылках.
   
    Для сравнения возьмём фактическое высказывание.
   Пусть дано выражение А˅В→С. Допустим, что это -ТИФ, сл., Ⱶ А˅В→С, откуда А˅ВⱵ С. Но из посылки А˅В ни под каким видом нельзя вывести С. Следовательно, А˅В→С не является ТИФом.
    Закон тождества имеет ввиду удвоение тождественного. Тогда если на место А в законе тождества подставим А˅В→С, то получим Ⱶ А˅В→С →.А˅В→С. 
 Дедукция есть вывод следствий из посылок. Преобразование импликации А→В в форму АⱵВ назовем применением правила дедукции. Формы со знаком Ⱶ будем называть дедуктивными формами. Высказывания с главным знаком импликации будем называть импликативной формой. Дедуктивная форма не отделима от импликативной. Пусть у нас есть высказывание А→.В→С. Главный знак импликации связывает антецедент и консеквент (левую и правую части) импликации. Применяем к импликации правило дедукции. Получаем: АⱵ В→С. Теперь главным знаком импликации становится знак, связывающий импликативно В и С. Еще раз применяем правило дедукции. Получаем А, В Ⱶ С. Для применения правила дедукции необходимо существование в выражении главного знака импликации. Отсюда получаем, что если нам дано выражение, то применение к нему правила дедукции возможно тогда и только тогда, если в нём главным знаком является импликация. Неоднократное применение правила дизъюнкции к импликации требует существования в выражении такого же числа главных знаков импликации. Отсюда возникает необходимость преобразования соответствующих частей выражения в импликативную форму. 
    Пусть дано выражение -A˅В↑С˅А&B˅A&C  (1). Пусть мы хотим узнать, является ли оно  ТИФом. Применяя выражение операторов через  операторы, преобразуем выражение (1), введя в него главный знак импликации. Получаем A→.В↑С˅А&B˅A&C (2). Применяем к (2) правило дедукции, получаем АⱵВ↑С˅А&B˅A&C. Преобразуем   В↑С˅А&B˅A&C в импликативную форму, получаем  В˅С→А&B˅A&C , получаем А, В˅СⱵ А&B˅A&C. следствие преобразуем в импликативную форму, получаем  А|В→А&C, очередное применение правила дизъюнкции дает А, В˅С А|CⱵ A&B. Для того, чтобы доказать, что выражение (1) является ТИФом, нужно в качестве следствия из посылок получить высказывание А&B. Тогда, применив обратное правило дедукции, то есть перенесение полученного результата в следствие, должны будем получить тождество Ⱶ А&B→A&B. Обозначив А&B буквой А/А&B, получим закон тождества в его непосредственном выражении А→А.
    Доказательство. Дано: А, В˅С А|CⱵ A&B.. По правилу удаления знака Шеффера А, А|ВⱵ -В. По правилу удаления дизъюнкции -В, В˅С Ⱶ С. следовательно, у нас есть А, С. по правилу введения конъюнкции получаем А&C. По правилу обратной дедукции получаем Ⱶ А&B→A&B. Следовательно, выражение  (1)  является ТИФом.
    Выражение (1) нами неявно было преобразовано в импликативную форму А→.В˅С→.А|B→A&С (3). Преобразуем выражение в форму: А&(B˅C)&(A|B)→A&C

 Применим "табличное" рассуждение к доказательству того, что выражение (3) является ТИФом. Преобразуем выражение (3) в эквивалентную ему форму  А&(B˅C)&(A|B)→A&C (4).Но раньше рассмотрим с этой же точки зрения выражение А˅В→С.  Оно будет истинным, если А˅В=л или С истинно. Но мы не можем утверждать истинностного значения ни относительно одного, ни относительно другого. Поэтому данное выражение не является ТИФом. Обращаемся к выражению (4). Определимся  со значениями переменных. Возьмём антецедент. Удаляем конъюнкцию. Получаем три посылки: А, В˅С, А|B. Если А истинно, то удаляются в таблице строки с А=л. Из А|В, АⱵ -В Удаляем строки с В=и. Получаем 3, 4 строки НИЗП. Из -В, В˅СⱵ С. С истинно.   Удаляем строку с -С. И мы снова получаем одну строку НИЗП.
    На основании проделанных опытов можно утверждать, что ТИФ всегда определяет единственную строку в НИЗПе. Для определения строки в НИЗПе нужно знать истинностные значения переменных. Для чего следует высказывание преобразовать в форму А1 &...&An→An+1, где Ai какое-то выражение. Затем, преобразовав в форму А1 &...&AnⱵ An+1 из посылок доказываем следствие. В процессе доказательства окажутся определены значения всех переменных и, соответственно, строка таблицы НИЗП. Т.о., мы имеем одну и ту же форму, которая, в зависимости от того, какого рода НИЗП берутся в выражении, будет принимать значения истины для соответствующей строки.
    Например, пусть дано выражение В→.А→В. Преобразовав его по правилу дедукции, получаем в качестве посылок А, В. Так как В в числе посылок и является следствием, то Ⱶ В→.А→В, то есть это выражение является  ТИФом,  которому соответствует первая строка НИЗП. Для той же формы вида -В→.А→-В получаем 2 строку НИЗП, и, соответственно, для форма В→.-А→В, -В→.-А→-В получаем, соответственно, 3 и четвертую строки НИЗП. Общий ход определения того, является ли данное выражение ТИФом, заключается в следующем. Дано выражение. Допускаем, что оно есть ТИФ. Это - то, что относится к отражению реальности и  характеризуется формой "если...то", потому что если выражение  не содержит следования, то оно к логике отношения не имеет. Разумеется, выражение не обязательно должно явно иметь в качестве главного знака импликацию, но должна существовать возможность приведения выражения в импликативную форму.   Затем  обращаемся к "реальности", которой должно соответствовать отражение. Если на основе схемы в "реальности" доказуемы отношения следования, то отражение соответствует ей и выражение в целом  является ТИФом.

   Пусть дано выражение А˅ В&С≡.(А˅В)&(А˅С). (a1) Для доказательства этого выражения нужно доказать его справа налево и слева направо. Докажем выражение слева направо. А˅ В&С→.(А˅В)&(А˅С). (a1) Так как антецедент представляет собой дизъюнкцию, то оно распадается на два: А→.(А˅В)&(А˅С)  (1.1)  и В&С→.(А˅В)&(А˅С) (a1.2). Доказав эти два выражения, мы тем самым докажем и составленное из них. Применение правила дедукции дает в качестве посылки А.  АⱵА˅В, АⱵ А˅С, А˅В,А˅СⱵ(А˅В)&(А˅С)
    (1.2) На основании правила дедукции посылками является В&С, следовательно, В, С истинны, откуда по правилу введения дизъюнкции и затем конъюнкции получаем: ВⱵ А˅В, СⱵ А˅С, откуда (А˅В)&(А˅С). Одно и то же следствие получено из двух разных посылок, которые могут быть объединены оператором дизъюнкции. Получили выражение (1)
    Доказательство может быть получено и иначе. В качестве посылки в (1) имеем А˅В&С. Преобразуем посылку из дизъюнктивной формы в импликативную. Получаем  два следствия: А˅В&СⱵ -А→В&С,   В|C→A. Пусть дано следствие -А→В&С. Так как импликация истинна, то если А=л, то это соответствует 5-8 строкам НИЗП.  Так как -А истинно то В=С=и. Истинностные значения всех переменных определены и соответствуют 5 строке НИЗП, из которой следует истинность следствия (А˅В)&(А˅С). Подобного же рода доказательство может быть проведено для второй посылки. Доказательств выражения (а1) справа налево: в посылке удаляем конъюнкцию и полученные дизъюнкции преобразуем в импликации. Получаем -А→В, -А→С. -А дает 5-8 строки НИЗП, В даем 5,6,  С- 5 строку. Таким образом, можем на места переменных подставить их истинностные значения  и определить выражение в целом.  Т.о., смысл "табличного" способа заключается в том, чтобы определить единственных набор истинностных значений из всего множества. Это является отличительным свойством ТИФов.

    Поставим перед собой противоположную задачу. Допустим, у нас есть доказательство какого-то выражения. Как перейти от него к ТИФу? Пусть дана последовательность выводов: -А, А˅ВⱵ В; В, В→СⱵ С; С, С|Е Ⱶ Е. Очевидно, что для перехода к ТИФу достаточно удалить все промежуточные следствия из доказательства, оставив лишь "первичные" выражения, то есть те, которые изначально предполагаются истинными.  Получим -А, А˅В, В→С, С|Е Ⱶ Е. Теперь посылки можем объединить конъюнктивно и применить к полученной конъюнкции обратное правило дедукции. Либо же можем последовательно применять обратной правило  дедукции, пока не исчерпаем все посылки. В этом последнем случае получим ТИФ: Ⱶ -А→.А˅В→.В→С→.С|Е→ Е