философ
знание
И этот закон относится к любой области знания.
Нижеследующие заметки были направлены на выявление инстинкта знания там, где он представлялся неясным.
Единицы
измерения
1. Формирование единицы. Измерение расстояния. Берется какой-то фиксированный отрезок прямой линии, материализованный каким-то образом, и посредством его измеряются расстояния.
2. Переход к измерению площадей на основе единицы измерения расстояний. Берется отрезок, стороны которого располагаются так, как это показано на рисунке 1. Формируется контур квадрата и получается т.о. единица измерения площади, которая обозначается как 12. Аналогично формируются единицы измерения объёма 13 , вообще единицы 1n , которые все оказываются связаны между собой: 1*1=12 : 1=1. Из способа построения единиц типа 1n , где n=1,2, … видно, что - это качественно различные вещи, не сводимые друг к другу. Например, квадратные единицы – это единицы, которые образованы двумя копиями линейных единиц т.о., что они соединены своими крайними точками, и образуют прямой угол. Изменение прямого угла даст уже иной тип единиц измерения площади. Следовательно, производные единицы измерения пространства обусловлены способом построения единиц измерения, и при этом это в качественном отношении разные единицы, то есть вещи, которые не сводятся друг к другу. В данном случае речь шла о порождении пространственных единиц из некоторой исходной единицы, которые однозначно определены соответствующими правилами. Квадратный метр и метр – это разные вещи.
3. Способ построения множества производных пространственных единиц единообразен: по отношению к единице добавляется эта исходная единица в виде перпендикуляра, опущенного на один из её концов.
4. Алгоритм порождения первой производной единицы может выглядеть сл.о.:
1. взять копию единицы. ( отрезок А,В)
2. взять вторую её копию. ( отрезок С,D)
3. соединить конечные точки копий (точки A,C). Назовем эту точку узловой точкой единиц.
4. образовать между отрезками прямой угол.
Последующие единицы 1n будут образовываться уже из единиц 1n-1 и 1 путем опускания единичного перпендикуляра в узловую точку единиц, которая, согласно построению, является общей для всех типов единиц.
5. Тем самым определяется последовательность формирования пространственных единиц. Сначала получена первая производная единица, называемая площадью или квадратной. На основании единицы площади производится следующая производная, кубическая единица, называемая объёмом. По отношению к этим трём чувственно представляемым единицам строится в соответствии с теми же правилами четвертая производная единица, которая в случае её интерпретации может рассматриваться как включающая в себя также параметр времени. Этот процесс может быть продолжен как угодно далеко уже вне чувственного представления, но в соответствии с той же самой закономерностью образования единиц всё более высоких степеней.
6. Если мы имеем дело с объектом, обладающим множеством свойств, то, так как все свойства объекта представляют собой его свойства, то все они, с одной стороны, могут быть отождествлены между собой как свойства этого объекта, его координаты. Значение понимания свойств как координат заключается в том, что благодаря этому появляется возможность говорить не только о свойствах, но и об их количественных характеристикам, а также выражать всё сложное многообразие количественных взаимоотношений свойств и проявлений этих взаимоотношений.
Всякое свойство объекта может рассматриваться как его координата. Соответственно, множество свойств образует систему координат объекта. В системе координат все координаты могут рассматриваться как равноправные относительно друг друга, но также и как вещи, между которыми могут устанавливаться функциональные отношения. У Гегеля есть относительное этого понятие свечения всего во всём, то есть рассмотрение всего как функции от всего остального. В качестве исходной может быть принята любая координата, и на этой основе возможен переход от единиц, характеризующих координаты, к производным единицам, которыми представлены отношения между координатами как представляющими производные объекта относительно этих первичных единиц, в которых представляется уже структура сложных свойств.
7. Если мы имеем отдельную координату, то мы имеем некоторое простое свойство, отдельная координата – это единица. Но две координаты в прямоугольной системе координат образуют уже плоскость – множество точек, свойства которых не сводятся к свойству координат, но уже обладают новыми свойствами сравнительно со свойствами, которые присущи единицам, на основании которых образована производная единица.
Точки на плоскости обозначаются двумя числами. И, поскольку эти числа рассматриваются как порядковые, их пара обозначает точку на плоскости. Но, будучи рассматриваемы как количественные числа, они обозначают площади. Еще раз: точка на координате, рассматриваемая как порядковое число, представляет только себя, рассматриваемая как количественное число, она представляет линию. В качестве показателя координаты площади, она представляет уже качественно иной объект – площадь.
8. Сложение, умножение, степени.
а+b+c+d=e, если а≠b≠c≠d сложение
a+b+c+d=4a. если a=b=c=d умножение
a*a=a2 , а*а*а=а3 , а*а*…*а=аn . а2 – это уже производная, не сводящаяся к а единица измерения. Любые а, различающиеся степенью, различаются между собой в качественном отношении, а также относительно степени их производности. В связи с этим для общего случая возникает вопрос о порядке формирования производных единиц из координат, принятых в качестве начальных, т.е. выполняется ли для всех них закон ассоциативности (а1 ,а2 ) ,а3 = а1,(а2,а3 ) ? Если исходить из того, что принцип математики заключается в независимости исходных данных, то, до появления возражений против него, можно принять, что выполняется.
Система
линейных
уравнений
(слу)
a11х1 + a12х2 = b1
a21х2 + a22х2 = b2 (1)
Решение.
Перейдем от неявной формы выражения неизвестных к явной, взяв одно из уравнений и выразив через одну переменную через другую:
х2=(b2 -a21x1 )/a22 (2)
Получена функция, выражающая зависимость х2 от х1 Пусть нам дано математическое выражение, хотя бы приведенная слу (1). Всегда существует вопрос: как она получена. Подставим в уравнения какие-то числа т.о., чтобы уравнения выполнялись. В этих уравнениях присутствуют две пары одинаковых чисел. Это означает, что слу - это не произвольная форма, но форма, построенная по определенному закону, и именно по тому, что содержит в двух уравнениях две пары одинаковых чисел, и наверное же, эта форма отражает какую-то практику, вроде той, что А и В купили в магазине товары а и б в разных количествах, но по одинаковой цене. На основании количества купленных товаров и затрат на них можно определить цену каждого из товаров. Т.о., указание на цену товаров в исходных уравнениях, если бы оно было, явилось бы, вообще говоря, вещью избыточной. Правда, если вместо цен товаров подставим соответствующие им неизвестные, то непосредственно цен товаров мы знать не будем, но мы можем её вычислить. Т.о., подстановка неизвестных приводит к тому, что непосредственно чувственно нам будут неизвестны цены товаров, и в этой точке находится граница между чувственно-непосредственным и рационально опосредованным отношением к реальности. Если нам дано одно уравнение от двух неизвестных, то получаем бесконечное множество решений.
Значение переменной мы определить не можем. Для того, чтобы значение переменной могло быть определено, она должна быть единственной в уравнении. Поэтому, если в уравнении несколько переменных, то должна существовать возможность устранения из уравнения всех переменных, кроме одной. Но как это можно сделать? Идея заключается в выражении одних переменных через другие. Но каким образом это может привести к успеху? Пусть у нас есть множество неизвестных переменных х1,... ,хn . Допустим, нам удалось каким-то образом выразить переменную х2 через х1: х2 = f1(х1), затем выразили х3 = f2(х2), ... ,хn-1 = fn(хn), тогда, если х2 можем выразить через х2 = f(х1), то тем самым уменьшим число переменных на единицу. Затем, взяв функцию от функции, избавимся от х3 |= f(х2)= f(f(13)). х3 = f2 (f1(х1)). И в конечном счете хn|= fn...(f2 (f1(х1)...) получим в выражении одну переменную. После чего, осуществляя соответствующие подстановки, найдем решение уравнения.
Для того, чтобы это можно было сделать, нам понадобится число уравнений, равное числу неизвестных. Действительно, в слу (1), выразив явно одну неизвестную через другую, мы переходим ко второму уравнению, в которое осуществляем подстановку выражения одной неизвестной через другую. На основе чего становится возможна такая подстановка? На основании функционального выражения одной переменной через другую, и именно благодаря принципу однозначности, заложенному в понятие функции от одной переменной. Если мы имеем функцию от двух переменных, то в ней однозначности нет: задавая значения одной независимой переменной, мы не получаем однозначного значения функции, так как изменение значений второй переменной будет вести к изменению значений функции. Но если это положение справедливо относительно одной, двух, трех неизвестных, , то мы можем допустить, что оно будет справедливо и для n неизвестных. Это будет верно, если при добавлении неизвестной характер закономерности не изменится.
В слу (1) две неизвестные переменные и два уравнения. Мы уже выразили одну переменную через другую. Следующим шагом подстановкой во второе уравнение удаляем одну из переменных и определяем значение второй.
a11х1 + a12((b2-a21х1)/a22)=b1 , откуда после преобразований получаем: х1=(b1a22-a12b2)/(a22a11 - a12a21)
Но этот метод хорош для слу от двух неизвестных. А если число неизвестных больше двух?
Кстати, слу удобно обозначать, указывая на первом месте имя (номер)слу, на втором месте число уравнений в нём, на третьем число неизвестных. Получаем три возможные формы его обозначений: слу (а,b,c), слу(b,c), слу(а). например, слу(2,4,4), слу(4,4), слу(2).
Метод
Гаусса
 |
Обычно явно операции со знаком равенства не задаются, но выполняются. Между тем, мы должны знать, каким правилам подчиняются наши действия. |
 |
Осуществим опыт 1. Дана слу (1,2,2). Пусть х1
=2, х2=3, и мы имеем слу (2).
Изменим, умножив на подходящее число , второе уравнение в слу
(2) т.о., чтобы первые (слева направо) члены обоих
уравнений оказались одинаковы. Для этого достаточно умножить
первый член второго уравнения на дробь со знаменателем, равным
коэффициенту при х1, и
числителем, равным коэффициенту при х1
первого уравнения. Это дробь 2/3. Получим слу(3). С другой
стороны, слу (2) и слу (3) эквивалентны друг другу, так как
соотношение чисел в них одинаково. Другими словами, применение
операции умножения всех членов уравнения на одно и то же число
соотношения между числами не меняет
Вычтем из второго уравнения первое. Получим уравнение от одного неизвестного, из которого определяем х2. После чего, осуществив подстановку найденного значения х2 в одно из уравнений слу (2), находим х1. Мы видим, что данный способ работает. Теперь нам нужно выяснить, как будет выглядеть его применение, если число неизвестных окажется больше двух. Для этого осуществим опыт 2 со слу(3,3) |
 
|
Опыт 2. Дана слу (1,3,3).
Пусть x1=2, x2=3,
x1=4. Строим слу (2), затем,
приравнивая один из членов второго уравнения этого же члена
второго, а затем третьего, получаем слу (3), по отношению
к которому повторяем операцию удаления одного из членов и
определяем первую неизвестную, затем вторую и третью. После
проверки путем подстановки в уравнения убеждаемся в том, что
найденные значения неизвестных удовлетворяют слу (2). На основе индуктивного обобщения получаем алгоритм решения слу (n,n): 1. Берется одно из уравнений, с одним из членов которого приравниваются соответствующие члены всех других уравнений, после чего 2. все они вычитаются из него. В результате получаем систему уравнений n-1. 3. Операции 1,2 применяются до тех пор, пока не будет получено уравнение от одной неизвестной. 4. После чего подстановками последовательно определяются значения остальных неизвестных. |